Расчёт групповой, межгрупповой и общей дисперсии (по правилу сложения дисперсий)

В случае, если совокупность разбита на группы по изучаемому признаку, то для данной совокупности могут быть исчислены следующие виды дисперсии: общая, групповые (внутригрупповые), средняя из групповых (средняя из внутригрупповых), межгрупповая.

Общая дисперсия отражает вариацию признака за счёт всех условий и причин, действующих в совокупности. Она может быть исчислена:

для несгруппированных данных ;

для сгруппированных данных ,

где – средняя, рассчитанная по всей совокупности.

Групповая дисперсия отражает вариацию признака только за счёт условий и причин, действующих внутри группы.

Она рассчитывается по формулам:

для несгруппированных данных ;

для сгруппированных данных ,

где – средняя, рассчитанная по -й группе.

Средняя из групповых дисперсий отражает вариацию признака за счёт случайных причин:

.

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака за счёт группировочного признака:

.

Между указанными видами дисперсий существует определенное соотношение: общая дисперсия равнв сумме средней из групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:

.

Правило сложения дисперсий используется в статистике для определения степени связи для определения степени связи между изучаемыми признаками. Метод аналитических группировок с применением правила сложения дисперсий позволяет определить тесноту связи между признаками с помощью эмпирического корреляционного отношения.

Первоначально рассчитывает коэффициент детерминации, который показывает какую часть общей вариации изучаемого признака составляет вариация межгрупповая, т.е. обусловленная группировочным признаком:

.

Эмпирическое корреляционное отношение характеризует тесноту связи между признаками группировочным (факторным) и результативным.

.

Эмпирическое корреляционное отношение может принимать значения от 0 до 1.

Для оценки тесноты связи на основе показателя эмпирического корреляционного отношения можно воспользоваться соотношениями Чеддока:

Пример 4. Имеются следующие данные о выполнении работ проектно-изыскательскими организациями разной формы собственности:

Определить:

1) общую дисперсию;

2) групповые дисперсии;

3) среднюю из групповых дисперсий;

4) межгрупповую дисперсию;

5) общую дисперсию на основе правила сложения дисперсий;

6) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Сделайте выводы.

Решение:

1. Определим средний объём выполнения работ предприятий двух форм собственности:

млн руб.

Рассчитаем общую дисперсию:

2. Определим групповые средние:

млн руб.;

млн руб.

Групповые дисперсии:

;

3. Рассчитаем среднюю из групповых дисперсий:

;

4. Определим межгрупповую дисперсию:

.

5. Рассчитаем общую дисперсию на основе правила сложения дисперсий:

.

6. Определим коэффициент детерминации:

.

Таким образом, объём работ, выполненных проектно-изыскательскими организациями на 22% зависит от формы собственности предприятий.

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитываем по формуле

.

Величина рассчитанного показателя свидетельствует о том, что зависимость объема работ от формы собственности предприятия невелика.

Пример 5. В результате обследования технологической дисциплины производственных участков получены следующие данные:

Определите коэффициент детерминации