Линейная корреляционная зависимость

Линейная корреляционная зависимость- это вид линейной зависимости , корреляционная зависимость между x и y. При нахождении корреляционной зависимости на подвергается анализу расположение точек на числовой плоскости, после выбора функции

;

.

Задача сводится к нахождению параметров искомой функции по данным корреляционной таблицы. Наиболее важные - линейные зависимости. Рассмотрим и зависимость y на x. В прямоугольной системе координат построим точки . Предположим, что между переменными x и y существует линейная корреляционная зависимость y на x.

Искомой прямой служит та, которая в смысле принципа наименьших квадратов ближе других расположена к точкам A ₁, A ₂,…, A_s,причем т. A ₁ учитывается n_{x 1} -раз,т.е. сколько раз встречаются в распределении соответствующие значения x_i. Прямая CD, ее уравнение y=ax+b. Возьмем на CD точки, обозначим их со штрихами - имеющие с точками A ₁, A ₂,…, A_s одинаковые абсциссы. Согласно метода наименьших квадратов, найдем сумму квадратов разностей ординат соответствующих точкам

Следовательно, S - сумма двух независимых переменных a и b. Для искомой прямой сумма минимальна, используя необходимые условия экстремумов функций, т.е обращение в 0 ее первых частных производных.

(1)

;

.

Разделим оба уравнения на объем совокупности n:

;

;

-общая средняя;

.

Возьмем слагаемое , вместо подставим сумму -это есть средняя арифметическая переменных и .

(2)

Из 1-го уравнения выразим b;

И подставим b:

;

(3)

Это уравнение- это прямая регрессии y на x проходит через точку . Причем точка - это средняя точка корреляционного графика, коэффициент в уравнении прямой регрессии называется коэффициентом регрессии y на x и обозначается как (4).

Найдем из системы (2).

Подставим во 2-ое уравнение:

(5)

Знаменатель - это дисперсия переменной x относительно ее общей средней .

(6)

Аналогично можно составит уравнение прямой регрессии x на y. Для этого в прямоугольной плоскости координат отмечают точки C_j с координатами . Проводя аналогичные рассуждения мы получаем формулы для параметров c и d для уравнения x=cy+d, и уравнение искомой прямой регрессии x на y запишется в виде

(7)

-называется коэффициентом регрессии x на y и определяется также по формуле (5)

или ;

(8)

Отметим свойства коэффициентов регрессии.

1. Коэффициенты регрессии y на x и x на y имеют одинаковые знаки. Знаменатель всегда положительный, поэтому эти знаки определяются числителями.

2. Коэффициент регрессии y на x является условным коэффициентом прямой регрессии y на x, а коэффициент регрессии x на y величиной обратной угловому коэффициенту прямой регрессии x на y, из уравнений (4) и (7).