Поняття і показники варіації

Варіація, тобто коливання, мінливість значень будь-якої ознаки, є властивістю статистичної сукупності. Вона зумовлена дією безлічі взаємозв’язаних причин – суттєвих і несуттєвих.

Вивчення варіації має важливе значення для оцінки сталості та диференціації соціально-економічних явищ при застосуванні вибіркових та інших статистичних методів.

Варіація, по суті, - це нерівність одного і того ж показника у різних об’єктів; вона сприяє вивченню суті досліджуваних явищ.

Для виміру варіації в статистиці застосовується декілька показників (див. таблицю 5.3).

Таблиця 5.3 - Показники варіації та формули для іх обчислення

Назва показників варіації	Розрахункові формули
Незгруповані дані	Згруповані дані

1.Розмах варіації
2.Середнє лінійне відхилення
3.Середнє квадратичне відхилення
4.Дисперсія
5.Коєфіціент варіації 6.Лінійний коефіцієнт варіації 7.Коефіцієнт осціляції

Середнє лінійне відхилення і середньоквадратичне відхилення – іменовані величини, і кожна з них має свої одиниці виміру. Тому їх неможливо використати при порівнянні різних ознак або навіть однієї і тієї ж ознаки, якщо використовуються різні розмірності. Так, врожайність культур може бути оцінена в центнерах або тоннах. Середнє лінійне відхилення і середньоквадратичне відхилення буде в такому випадку залежати від одиниці виміру.

Тому для оцінки варіації, особливо коли потрібно порівняти мінливість різних ознак, використовується відносна величина – коефіцієнт варіації.

Розглянемо на прикладах методику обчислення середніх і показників варіації для дискретного і інтервального групувань.

Усі проміжні розрахунки для зручності здійснюються безпосередньо в таблицях.

Таблиця 5.4 - Розподіл підприємств за чисельністю робітників

Чисельність робітників, чол.,	Кількість Підпри ємств,
		45,25	45,25	2047,6	2047,6	2,5	2,5
		35,25	211,50	1242,6	7455,5	15,0
		22,25	126,25	637,6	3188,0	12,5
		15,25	61,00	232,6	930,4	10,0
		5,25	26,25	27,6	138,0	12,5
		4,75	19,00	22,5	90,0	10,0
		14,75	44,25	217,5	625,5	7,5
		24,75	99,00	612,5	2450,0	10,0
		34,75	173,75	1207,5	6037,5	12,5
		44,75	134,25	2002,5	6007,5	7,5
		-	940,5	-	28997,0			-

Для обчислення показників варіації слід розрахувати середню арифметичну.

Для обчислення показників використовуються дані підсумкового рядку.

Середня арифметична незгрупованих даних і в дискретному групуванні, побудованому на основі цих даних, (незалежно від використаної частоти або частки , за значенням завжди співпадає. Останнє відноситься і до показників варіації.

Розраховані на підставі підсумкових даних таблиці 5.4 статистичні показники дорівнюють:

середня арифметична

або

середнє лінійне відхилення

дисперсія

середнє квадратичне відхилення

коефіцієнт варіації

Мода , так як цій ознаці відповідає найбільша частота або, іншими словами, в сукупності підприємств чисельність робітників в 40 чол. є найбільш типовою.

Для обчислення медіани необхідно в першу чергу визначити номер медіанної одиниці ряду:

Цій одиниці ряду відповідає медіана , тобто певне підприємство з чисельністю 70 робітників ділить варіаційний ряд розподілу на дві рівні частини.

Середня арифметична в інтервальних групуваннях визначається аналогічно дискретному варіаційному ряду, однак спочатку потрібно визначити середнє значення варіанти в кожній групі, тобто умовно перетворити інтервальне групування в дискретне. Середнє значення варіанти визначається за формулою:

, (5.5)

де – середнє значення інтервалу;

– відповідно верхня і нижня межа (границя) інтеУвалу.

У відкритих інтервальних групуваннях у першій і останній групах (перший і останній рядки) розмір інтервалу приймається на рівні груп (рядків), що знаходяться поруч (другий і передостанній).

У такому разі умовна нижня границя першої групи визначається як різниця між заданою верхньою границею і розміром інтервалу другої групи, а умовна верхня границя останньої групи визначається як сума заданої нижньої границі і розмір інтервалу передостанньої групи (див. таблицю 5.5).

Таблиця 5.5 - Розподіл робітників за обсягом виготовленої продукції

Групи робітників за кількістю виготовленої продукції за зміну, шт.,	Кіль кість робітників,	Середнє Значення Інтервалу
До 5			3,5	35,0	12,25	122,5
5-7			1,5	45,0	2,25	67,50
7-9			0,5	20,0	0,25	10,0
9-11			2,5	37,0	6,25	93,75
Понад 11			4,5	22,5	20,25	101,25
		-	-	160,0	-		-

Середні та показники варіації визначаються наступним чином:

Модальним є інтервал 7-9, тому має найбільшу частоту (f=40).

Згідно з формулою 5.2:

Для визначення медіального інтервалу використаєм формулу 5.3:

Перший інтервал, який відповідає цій вимозі, є інтервал 7-9. Таким чином, медіанний і модельний інтервали співпадають.

Згідно з формулою 5.4:

Після наведених прикладів продовжимо подальше вивчення варіації ознаки.

Варіація ознаки залежить від безлічі факторів, які нерідко діють в різних напрямках.

Наприклад, врожайність при інших рівних умовах залежить від кількості внесених добрив, опадів, якості грунту тощо.

В процесі оцінки дії факторів необхідно в першу чергу здійснити групування одиниць спостереження, а потім визначити загальну, міжгрупову і внутрішньогрупову дисперсії.

Величина загальної дисперсії ()характеризує варіацію ознак під впливом усіх умов, які викликають цю варіацію. Вона обчислюється за формулою:

. (5.6)

Міжгрупова дисперсія характеризує систематичну варіацію, тобто різницю у величині досліджуваної ознаки, яка виникає під впливом однієї умови (ознаки-фактора), що закладена в основу групування. Вона обчислюється за формулою:

, (5.7)

де – середня окремих груп;

– чисельність одиниць сукупності окремих груп.

Внутрішньогрупова дисперсія, або середня із групових дисперсій () відображає випадкову варіацію, тобто частину варіації, яка виникає під впливом інших, неврахованих факторів, і не залежить від умови (ознаки-фактора), що покладена в основу групування. Вона визначається за формулою:

(5.8)

де – групова дисперсія. Повинна виконуватися умова:

Методику обчислення загальної, міжгрупової і внутрішньогрупової дисперсій розглянемо на прикладі, дані яких наведені в таблиці 5.6.

Таблиця 5.6 - Стаж роботи та годинна заробітна плата робітників

Стаж роботи, роки	Годинна заробітна плата, грн.	Стаж роботи, роки	Годинна заробітна плата, грн.
	0,62		0,95
	0,68		1,01
	0,88		0,93
	0,84		1,02
	0,82		1,05

Серед робітників п’ятеро пройшли навчання з годинною оплатою (в коп.): 84, 93, 95, 101, 102, решта навчання не пройшли.

Обчислемо для зазначених сукупностей

а) групові середні

б) загальну середню

;

в) групові дисперсії

г) загальну дисперсію

На підставі розрахованих показників обчислимо:

міжгрупову дисперсію:

;

внутрішньогрупову дисперсію

Якщо припустити загальну дисперсію в 100%, то варіація під впливом міжгрупової дисперсії (підготовка кадрів) становила (49:185,6)×100=26,4% від загальної, а під впливом внутрішньогрупової дисперсії (136,6:185,6)×100 = 73,6%.

Таким чином, коливання заробітної плати майже на три чверті залежить від випадкових (неврахованих) факторів.

Питання для самоконтролю

1. Дайте визначення середньої.

2. В чому відмінність середньої в математиці і статистиці?

3. Які види середніх вам відомі?

4. Сформулюйте правила вибору виду середньої.

5. Дайте визначення понять “мода” і “медіана”. В яких випадках вони використовуються?

6. Які показники варіації вам відомі?

7. В чому перевага коефіцієнта варіації в порівнянні з середнім лінійним і середнім квадратичним відхиленнями?

8. Яким чином за допомогою показників дисперсії можна оцінити вплив на варіацію ознак врахованого і випадкових (неврахованих) факторів?

Задачі

5.1. Місячна заробітна плата робітників характеризується такими даними:

Місячна заробітна плата, грн.						Разом
Кількість робітників

Визначити середню заробітну плату, розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсію, коефіцієнт варіації, моду і медіану.

5.2. По виконанню норм виробітку робітники розподілені таким чином:

Виконання норми виробітку,%	90-100	100-110	110-120	120-130	Понад	Разом
Кількість робітників

Визначити середній процент виконання норми виробітку, середнє лінійне відхилення, дисперсію, коефіцієнт варіації, моду і медіану.

5.3. Розподіл заводів цементної промисловості за розміром добової виробничої потужності такий:

Виробництво цементу, тис. т	До 100	100-200	200-300	300-500	500-700	Понад	Разом
Питома вага заводів в % до підсумку

Визначити середню виробничу потужність, середнє лінійне відхилення, дисперсію, коефіцієнт варіації, моду і медіану.

5.4. Середньодобовий видобуток вугілля на протязі 10 днів характеризується такими даними:

Дні
Видобуток вугілля, т за добу	4,5	4,6	4,9	5,0	5,4	6,0	5,4	5,8	5,9	6,2

Визначити середній добовий видобуток вугілля, середнє лінійне відхилення, дисперсію, коефіцієнт варіації.

5.5. Врожайність зернових в господарствах характеризується такими даними:

Групи господарств за врожайністю зернових, ц/га	До	25-29	29-33	33-37	37 і більше	Разом
Кількість господарств

Визначити середню врожайність зернових, середнє лінійне відхилення, дисперсію, коефіцієнт варіації, моду і медіану.

5.6. Витрати часу трьома робітниками на обробку однієї деталі відповідно становить: 20, 24, 16 хв. Загальні витрати часу кожним робітником відповідно дорівнюють: 420, 480, 400 хв.

Визначити середні витрати часу на обробку однієї деталі.

5.7. Фабрикою виготовлено 62,0 тис. м тканини, в тому числі: першого сорту 92,0% по 6,4 грн. за 1м; другого сорту 6,0% по 6,2 грн. за 1м; третього сорту 2,0% по 6,0 грн. за 1м.

Визначити середню ціну 1м тканини.

5.8. Відомі такі дані по виконанню плану виробництва продукції:

Номер підприємства	Обсяг продукції за планом, тис. грн.	Виконання плану, %
		95,0
		100,0
		102,0

Визначити середній процент виконання плану по трьох підприємствах.

5.9.Витрати сировини на виробництво продукції характеризуються такими даними:

Номер бригади	Витрати сировини на виробництво одного виробу, кг	Загальні витрати сировини, кг

Визначити середні витрати сировини на одиницю продукції.

5.10. Виконання плану реалізації продукції підприємствами об’єднання характеризується такими даними:

Показник	Номер підприємства

Обсяг реалізації за звітом, млн. грн.
Виконання плану, %	103,1	98,0	100,0	102,5

Визначити процент виконання плану в цілому по об’єднанню.

5.11. Собівартість продукції А по трьох підприємствах характеризується такими даними:

Номер підприємства	Витрати на виробництво, тис. грн.	Собівартість одиниці продукції, грн.

Визначити середню собівартість одиниці продукції.

5.12. Відомі такі дані про жирність молока:

Жирність молока	Надійшло молока на молокозавод, ц
3,9
3,8
3,7
3,6

Визначити середній процент жирності молока.

5.13. Врожайність пшениці по колективному господарству характеризується такими даними:

Культура	Попередній рік	Звітний рік
Врожайність, ц/га	Посівна площа, тис. га	Врожайність, ц/га	Валовий збір, тис. ц
Пшениця озима	26,9	8,2	28,0	200,0
Пшениця яра	20,3	15,8	21,0	220,0

Визначити середню врожайність пшениці у попередньому і звітному роках.

5.14. Частка розфасованих продовольчих товарів в загальному обсязі виробництва характеризується такими даними:

Групи продовольчих товарів	Загальний обсяг виробництва, тис. т	Частка розфасованих товарів в загальному обсязі виробництва, %
Маргаринова продукція	290,0	40,1
Вершкове масло	1250,0	25,0

Визначити середню частку розфасованих товарів в загальному обсязі їх виробництва.

5.15. Якість продукції за звітний квартал характеризується такими даними:

Вид продукції	Процент браку	Вартість виготовленої продукції, тис. грн.
А	0,8	7,4
Б	1,2	8,2
С	2,5	6,9
Д	0,8	7,5

Визначити середній процент браку по продукції в цілому.

5.16. Впровадження інтенсивної технології для вирощування зернових культур характеризується такими даними:

Групи сільськогос-подарських культур	Загальний розмір посівної площі, тис. га	Частка площі,обробленої за інтенсивною технологією, %
Озимі зернові		55,2
Зернобобові		35,0