Крамеровские системы

Неоднородная система линейных уравнений называется крамеровской, если выполнены следующие условия:

1) m = n, т.е. число уравнений равно числу неизвестных;

2) det А ¹0 – определитель матрицы коэффициентов не равен нулю.

Иначе: система линейных уравнений крамеровская, если А – квадратная невырожденная матрица.

Т.к. А – квадратная матрица, то существует обратная матрица А ^-1, тогда решение системы дается формулой:

Х=А ^-1 В.

Правило Крамера в матричной форме записи:

Здесь Dравен определителю матрицы коэффициентов, D _I есть определитель матрицы коэффициентов, в котором на месте i -го столбца стоит столбец свободных членов.

Пример. Решить систему уравнений:

1) Вычисляем det А = D и определители D _i:

x₁ = ; x₂ = ; x₃ = .

Ответ: решение системы

1.6.4.Произвольные неоднородные системы

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными.

Система называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение.

Главную роль в определении совместности системы играет ранг матрицы. Составим матрицу (А / В), которая называется расширенной матрицей.

Теорема Кронекера – Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна (т.е. имела решение), необходимо и достаточно, чтобы rang A =rang (A / B).

Теорема о числе решений неоднородной системы: пусть для системы из m уравнений с n неизвестными выполнено условие совместности, т.е. r(A)= r(A / B)= r.

Тогда: если r = n, то система имеет единственное решение.

Если r < n, то система имеет бесконечное множество решений.

При этом (n - r) - неизвестным придают произвольное значение, они называются свободными неизвестными;

r - число базисных неизвестных.

Пример. Решить систему линейных уравнений.

Составим расширенную матрицу:

(A / B)=

Определим ранги r(A) и r(A / B).

r(A) =r(A / B)=3<4, следовательно, система имеет бесконечное множество решений;

n-r =4-3=1 - одна свободная неизвестная.

r = 3 - три базисных неизвестных.

Т.к. r = 3, то выберем ненулевой минор третьего порядка, который назовем базисным минором.

Т.к. в базисный минор входили коэффициенты при х₁, х₂, х₃, то эти неизвестные будут базисными, оставшаяся х₄ - свободной.

Перепишем систему в виде:

х₁- 2 х₂- 3 х₃ = 2+5 х₄

2 х₁+х₂+ 4 х₃= 3 -х₄

3 х₁- 3 х₂+ 8 х₃ =-1+2 х₄

Полученная система является крамеровской, т.к. определитель матрицы коэффициентов есть ненулевой минор третьего порядка.

По правилу Крамера выразим х₁, х₂, х₃ через х₄.

х₁= 30 + 71 х₄

х₂= -7-15 х₄

х₃= -14-32 х₄

Обозначим х₄=С (произвольная константа), тогда общее решение системы имеет вид:

Придавая С различные значения, мы получим бесконечное множество частных решений системы.

Например, .