Метод Гаусса решения систем неоднородных уравнений

Методом Гаусса решаются неоднородные системы уравнений AX=B.

Суть метода Гаусса:

1) систему уравнений приводят к треугольному виду;

2) определяют свободные и связанные неизвестные;

3) составляют крамеровскую систему и решают по правилу Крамера;

4) записывают общее решение системы.

Замечание. В методе Гаусса ранг матрицы определяется автоматически.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу преобразованной системы и найдем ее ранг.

, тогда

, x₄ - свободная неизвестная; x₁, x₂, x₃ – базисные неизвестные. Выразим базисные неизвестные через свободные:

Пусть x₄=С, тогда 7 x₂= 4+2 С, х₂= 4/7+2 С /7, х₁= 4 С /7-6/7.

Ответ: общее решение системы Х = .

Методом Гаусса решаются так же крамеровские системы, т.е. системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных и det A ¹0. В этом случае мы сразу получаем единственное решение системы.

Пример. Решить систему линейных уравнений

.

Решение: 1) умножим первое уравнение на (-2) и прибавим его ко второму уравнению;

2) умножим первое уравнение на (-5) и прибавим его к третьему уравнению; получим систему:

.

3) Умножим второе уравнение системы на 3 и прибавим его к третьему уравнению:

.

4) Найдем последовательно x₃, x₂, x₁.

Ответ: .