Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

6)Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение:

a) . Предел отношения многочленов и иррациональностей при равен пределу отношения старших по степени слагаемых.

b) .

с)

d)Воспользуемся обобщённой формулой второго замечательного предела:

.

7) Найти производные первого порядка для следующих функций:

a) b)

Решение:

a) .

b) Воспользуемся формулой для нахождения производной частного:

8) Дана функция . Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке x₀=-2.

Решение:

- уравнение касательной.

- уравнение нормали.

;

По формуле для нахождения производной частного:

; .

Тогда уравнение касательной: ;

Уравнение нормали: .

9) Дана функция . Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение:

Вычислим производную .

Найдём критические точки:

Точка , .

Найдём .

Найдём значения функции на концах отрезка:

; .

Наибольшее значение на данном отрезке достигается функцией в двух точках – на концах отрезка: .

Наименьшее значение на данном отрезке достигается функцией во внутренней точке отрезка: .

10) Даны функция , точка A(2;-1) и вектор . Требуется найти и производную в точке A по направлению вектора .

Решение:

; ; ;

Следовательно .

Найдём направляющие косинусы вектора :

; .

данная функция убывает в направлении вектора .