2015-10-16
997
1)Даны матрицы: 
, 
, 
.
Найти 
Решение:
Матрица А имеет размерность 
, матрица В размерность 
. Т.к. число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, то данные матрицы можно перемножить. В результате получится некоторая матрица D, имеющая размерность 
.
Найдем элементы матрицы D:
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
.
Тогда 
.
По правилу умножения матрицы на число 
Найдём 
.
2) Решить систему методом Крамера: 
Решение:
Вычислим основной определитель, раскладывая его по 1-ой строке через алгебраические дополнения:
,
система имеет единственное решение.
Вычислим вспомогательные определители системы:
; 
; 
.
Отсюда по формулам Крамера находим:
, 
, 
.
Сделаем проверку подстановкой найденных значений в исходную систему:
- верно.
3) Решить систему методом Жордана – Гаусса:
Решение:
Рассмотрим расширенную матрицу системы: 
. Приведём её к верхнетреугольному виду.
Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки: 
. Из 2-ой стоки вычтем 1-ю строку, умноженную на 2, из 3-ей стоки вычтем 1-ю строку, умноженную на 3: 
. К 3-ей строке прибавим 2-ю строку: 
. Третью строку разделим на (-30): 
. Переменные 
являются базисными, а переменная 
является свободной. Заменим исходную систему системой, полученной путём преобразования матрицы и выразим базисные переменные через свободные: 
. Выразим из 3-го уравнения 
и подставим его значение во второе уравнение, затем из 2-го уравнения выразим 
и подставим в 1-е уравнение. Тогда система примет вид: 
. Свободная переменная может принимать любые значения. Зададим 
, где С - произвольная константа. Тогда решение системы может быть представлено в виде матрицы-столбца: 
.
4) Даны координаты вершин треугольника, A (3, 5), B (-7, 12), C (2, -6). Найти:
a) длину стороны AB;
b) общие уравнения сторон AB и BC;
c) величину угла B;
d)длину и уравнение высоты, опущенной из вершины 
;
e) площадь треугольника 
.
Решение:
a)Найдём длину стороны AB, как длину вектора 
: 
. 
.
b)Найдём уравнения сторон AB и BC по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки.
- общее уравнение прямой АВ.
- общее уравнение прямой ВС.
c) Угол В – есть угол между прямыми AB и BC. Угол между прямыми может быть найден, как угол между их нормальными векторами. 
. 
.
d) Опустим высоту из точки А на сторону ВС. Пусть точка D – есть основание этой высоты. Прямая AD перпендикулярна прямой ВС. Следовательно, вектор нормали прямой ВС является направляющим вектором для прямой AD. 
. Воспользуемся каноническим уравнением прямой. 
- общее уравнение высоты AD.
Найдём длину высоты AD, как расстояния от точки А до прямой ВС.
.
e)Найдём площадь треугольника 
как половину произведения длины основания треугольника на его высоту.
Пусть ВС – основание 
, AD – его высота.
; 
.
.
5) Даны четыре точки A (3;-2;1), B (1;2;4), C (-5;4;6), M (2;3;-1). Найти:
a)уравнение плоскости a, проходящей через три точки A, B, C;
b)каноническое уравнения прямой AB;
c)уравнение и длину высоты, опущенной из вершины М на грань ;
d) объем пирамиды АВСМ.
Решение:
a)Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки: 
Разложим определитель по элементам первой строки:
- общее уравнение плоскости α.
b) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:
- каноническое уравнение прямой АВ.
c) Обозначим высоту, опущенной из вершины М на грань через l. Т.к 
, то 
. Составим каноническое уравнение прямой l: 
.
Найдём длину высоты как расстояние от точки М до плоскости α: 
.
d)Объём пирамиды равен 
объёма параллелепипеда, построенного на трёх векторах и может быть вычислен через смешанное произведение этих векторов: 
.
.
