1)Даны матрицы: , , .
Найти
Решение:
Матрица А имеет размерность , матрица В размерность . Т.к. число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, то данные матрицы можно перемножить. В результате получится некоторая матрица D, имеющая размерность .
Найдем элементы матрицы D:
; ; ; ;
; ; ; .
Тогда .
По правилу умножения матрицы на число
Найдём .
2) Решить систему методом Крамера:
Решение:
Вычислим основной определитель, раскладывая его по 1-ой строке через алгебраические дополнения:
,
система имеет единственное решение.
Вычислим вспомогательные определители системы:
; ; .
Отсюда по формулам Крамера находим:
, , .
Сделаем проверку подстановкой найденных значений в исходную систему:
- верно.
3) Решить систему методом Жордана – Гаусса:
Решение:
Рассмотрим расширенную матрицу системы: . Приведём её к верхнетреугольному виду.
Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки: . Из 2-ой стоки вычтем 1-ю строку, умноженную на 2, из 3-ей стоки вычтем 1-ю строку, умноженную на 3: . К 3-ей строке прибавим 2-ю строку: . Третью строку разделим на (-30): . Переменные являются базисными, а переменная является свободной. Заменим исходную систему системой, полученной путём преобразования матрицы и выразим базисные переменные через свободные: . Выразим из 3-го уравнения и подставим его значение во второе уравнение, затем из 2-го уравнения выразим и подставим в 1-е уравнение. Тогда система примет вид: . Свободная переменная может принимать любые значения. Зададим , где С - произвольная константа. Тогда решение системы может быть представлено в виде матрицы-столбца: .
4) Даны координаты вершин треугольника, A (3, 5), B (-7, 12), C (2, -6). Найти:
a) длину стороны AB;
b) общие уравнения сторон AB и BC;
c) величину угла B;
d)длину и уравнение высоты, опущенной из вершины ;
e) площадь треугольника .
Решение:
a)Найдём длину стороны AB, как длину вектора : . .
b)Найдём уравнения сторон AB и BC по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки.
- общее уравнение прямой АВ.
- общее уравнение прямой ВС.
c) Угол В – есть угол между прямыми AB и BC. Угол между прямыми может быть найден, как угол между их нормальными векторами. . .
d) Опустим высоту из точки А на сторону ВС. Пусть точка D – есть основание этой высоты. Прямая AD перпендикулярна прямой ВС. Следовательно, вектор нормали прямой ВС является направляющим вектором для прямой AD. . Воспользуемся каноническим уравнением прямой. - общее уравнение высоты AD.
Найдём длину высоты AD, как расстояния от точки А до прямой ВС.
.
e)Найдём площадь треугольника как половину произведения длины основания треугольника на его высоту.
Пусть ВС – основание , AD – его высота.
; .
.
5) Даны четыре точки A (3;-2;1), B (1;2;4), C (-5;4;6), M (2;3;-1). Найти:
a)уравнение плоскости a, проходящей через три точки A, B, C;
b)каноническое уравнения прямой AB;
c)уравнение и длину высоты, опущенной из вершины М на грань ;
d) объем пирамиды АВСМ.
Решение:
a)Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки:
Разложим определитель по элементам первой строки:
- общее уравнение плоскости α.
b) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:
- каноническое уравнение прямой АВ.
c) Обозначим высоту, опущенной из вершины М на грань через l. Т.к , то . Составим каноническое уравнение прямой l: .
Найдём длину высоты как расстояние от точки М до плоскости α: .
d)Объём пирамиды равен объёма параллелепипеда, построенного на трёх векторах и может быть вычислен через смешанное произведение этих векторов: .
.