Лабораторное занятие №14

Случайные величины. Непрерывная случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики. (2 часа)

Цель: изучить основные понятия, ознакомиться с методикой вычисления основных параметров непрерывной случайной величины.

На лабораторном занятии формируются

знания:

- о непрерывных случайных величинах,

- о законах распределения непрерывных случайных величинах,

- о функциях распределения непрерывных случайных величин,

- о числовых характеристиках непрерывных случайных величин;

умения:

- нахождение функций распределения непрерывной случайной величины,

- вычисление числовых характеристик непрерывной случайной величины;

навыки:

- действий с непрерывными случайными величинами применяемыми в задачах практического содержания.

Материально-техническое оборудование:

компьютерный класс.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ

1. Инструктаж по ТБ.

2.Проверка знаний студентов — их теоретической готовности к выполнению заданий.

3. Общее описание задания.

4. Выполнение заданий.

5. Оформление отчета о лабораторной работе.

6. Анализ

Глоссарий

Выучите определения следующих терминов:

непрерывная случайная величина, математическое ожидание, дисперсия непрерывной случайной величины, мода, медиана, равномерное распределение, функция распределения непрерывной случайной величины, интегральная функция распределения непрерывной случайной величины, нормальное распределение непрерывной случайной величины, кривая Гаусса, правило трех сигм.

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Инструктаж по ТБ в компьютерном классе.

2. На лабораторном занятии используется фронтальная и индивидуальная формы работы.

Контрольные вопросы

1. Записать формулы для математического ожидания, дисперсии непрерывной случайной величины, моды, медианы. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

2. Равномерное распределение, отыскание его дифференциальной и интегральной функции. Математическое ожидание. Дисперсия равномерного распределения. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

3. Определение нормального распределения: вид кривой Гаусса. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

4. Выражение интегральной функции F(х) общего нормального распределения через функцию Лапласа. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

5. Как влияют параметры а и нормального распределения по формуле кривой Гаусса. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

6. Написать формулу для вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал (α; β) (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

7. Как вычисляется вероятность заданного отклонения нормальной величины от ее математического ожидания. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

8. Сформулировать правило трех сигм. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-3)

3. Необходимо выполнить:

- представленные общие исходные задания;

- представленные индивидуальные задания для студентов, работающих в более быстром темпе (можно выполнить в качестве Д/з);

- оформление отчета о лабораторной работе;

- защита лабораторной работы производится во фронтальной форме.

4. Задания

Общие:

№1. Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения

.

Найти М(X), D(X), (X). (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

№2. Плотность равномерного распределения на отрезке [а; в] имеет вид . Найти М(X), D(X), (X) равномерно распределенной случайной величины Х на отрезке [а; в]. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

№3. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

. Найти М(X), D(X), (X).

(ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

№4. Найти медиану случайной величины Х, если

. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

№5. Математическое ожидание а = 10. Вероятность попадания величины в интервал (10; 20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания величины Х в интервал (0; 10)? (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

№6. Средний диаметр стволов деревьев на некотором участке равен 25 см, σ = 5 см. Считая диаметр стволов случайной величиной, распределенной нормально, найти:

- процент деревьев, имеющих диаметр свыше 20 см.

- интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут расположены все значения Х. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

Индивидуальные: (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

№1. Случайная величина Х задана интегральной функцией

. Найти М(X), D(X), σ(X).

№2. Случайная величина задана плотностью распределения вероятности

.

Найти:

1)А;

2) Найти интегральную функцию распределения случайной величины;

3) Построить графики функций.

№3. Имеется группа мужчин, состоящая из 100 человек. Найти вероятность того, что наудачу взятый мужчина будет иметь рост от 160 до 175 см, если случайная величина Х – рост мужчины подчинена нормальному закону. Средний рост мужчин в рассматриваемой группе 165 см. Найти интервал, в котором вероятность 0,9973 будет находиться рост мужчин σ = 6 см, Р (160<х<175) = 0,7492.

№4. Средняя длина рыбы 30 см. 30% всей вылавливаемой рыбы имеют длину от 26 до 30 см. Какой процент рыбы имеют длину, превышающую 35 см, если Х подчинена нормальному закону.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Непрерывная случайная величина.

Функция распределения вероятности

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x) определяющая вероятность того что Х примет значение меньшее х:

F(x)=P(X<x). (1)

Функция распределения обладает рядом фундаментальных свойств:

1. Область значений функции распределения лежит на отрезке [0, 1]:

(2)

2. Функция распределения является неубывающей, т.е.

F(x₂)> F(x₁) при х₂>x₁. (3)

3. Если возможные значения случайной величины находятся на интервале (а, b), то F(x)=0 при и F(x)= 1при

Из указанных свойств вытекают важные следствия:

1. Вероятность того, что случайная величина Х принимает значения, заключенные внутри интервала , равна разности значений функции распределения на концах этого интервала:

(4)

2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

3. Если возможные значения непрерывной случайной величины Х расположены по всей числовой оси, то справедливы следующие пределы:

, (5)

График функции распределения непрерывной случайной величины показан на рис.

Рис. График функции распределения непрерывной случайной величины.

Производнаяот функции распределения непрерывной случайной величины Х называется плотностью распределения вероятностей Х:

f(x)=F^/(x). (6)

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения или неопределенным интегралом от нее.

5. Рекомендуемое содержание отчета (для студента).

1. Название лабораторной работы.

2. Цель и задачи исследований.

3. Электронно-вычислительные средства для расчетов.

4. Журнал (тетрадь) исследований (вычислений) с обработкой полученных данных в виде таблиц, графиков (по требованию).

5. Выводы.

6. Анализ и защита лабораторной работы производится по результатам представленного студенческой группой отчета (перечень сделанного, рекомендации, ответы на рассмотренные в процессе выполнения контрольные вопросы).

Преподаватель оценивает знание каждого студента.

Литература