Числовые характеристики дискретных случайных величин

Часто используются числовые характеристики случайной величины, которые дают некоторое осредненное описание случайной величины, получаемое на основе закона ее распределения.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

. (5)

Из этого определения следует, что математическое ожидание есть некоторая постоянная (неслучайная) величина. Вероятностный же смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно равно (в особенности для большого числа испытаний) среднему арифметическому значению случайной величины. Это хорошо видно в случае, когда вероятности всех возможных значений дискретной случайной величины равны р_i=р=1/n в формуле (5).

Пример: Найти математическое ожидание невозврата кредитов по данным предыдущего примера.

Решение. Воспользуемся итоговой таблицей распределения дискретной случайной величины, данной в этом примере и формулой (5):

Основные свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной величины С равно С:

М(С)=С. (6)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ)=СМ(Х). (7)

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий

М(Х₁+Х₂+…+Х_m)=М(Х₁)+ М(Х₂)+…+ М(Х_m). (8)

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

М(Х₁Х₂…Х_m)=М(Х₁) М(Х₂)…М(Х_m). (9)

Дисперсия дискретной случайной величины

Разность между случайной величиной и еематематическим ожиданием называется отклонением Х – М(Х).

Математическое ожидание квадрата отклонения называется дисперсией, или рассеянием:

D(X) = M[X-M(X)]². (10)

При вычислении дисперсии удобно воспользоваться формулой, которая непосредственно выводится из формулы (10):

D(X) = M(X²) - [M(X)]². (11)

Основные свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D(C) = 0. (12)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CХ) =С²D(X). (13)

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равно сумме их дисперсий:

D(Х₁+Х₂+…+Х_n) = D(Х₁)+ D(Х₂)+…+ D(Х_n). (14)

Из свойств 1 и 3 следует важный вывод: D(X+C)=D(X), где С – постоянная величина. Кроме того, дисперсия числа появления события А в n независимых испытаниях с вероятностью появления р в каждом из них этого события вычисляется по формуле

(15)

5. Рекомендуемое содержание отчета (для студента).

1. Название лабораторной работы.

2. Цель и задачи исследований.

3. Электронно-вычислительные средства для расчетов.

4. Журнал (тетрадь) исследований (вычислений) с обработкой полученных данных в виде таблиц, графиков (по требованию).

5. Выводы.

6. Анализ и защита лабораторной работы производится по результатам представленного студентами отчетов (перечень сделанного, рекомендации, ответы на рассмотренные в процессе выполнения контрольные вопросы).

Преподаватель оценивает знание каждого студента.

Литература