Основные положения теории вероятностей

События происходящие в окружающем мире, можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным относительно комплекса условий называется событие, которое обязательно произойдет при осуществлении этого комплекса условий. Например, если гладкий желоб с лежащим внутри тяжелым шариком наклонить, то шарик обязательно покатится по желобу в сторону уклона.

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении комплекса условий . Ошибка! Ошибка связи., из геометрически изолированного сосуда вода не может вылиться.

Случайным относительно комплекса условий называется событие, Ошибка! Ошибка связи. при осуществлении указанного комплекса условий может либо произойти, либо не произойти. Например, если вы уронили фарфоровую чашку на пол, то может как разбиться, так и остаться неповрежденной.

Теория вероятностей имеет дело со случайными событиями.

Основные понятия теории вероятностей

Пусть задано конечное множество элементов некоторой природы. Из них можно составить определенные комбинации.

Комбинации, состоящие из одной и той же совокупности различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения называются перестановками.

Число всех возможных перестановок определяется произведением чисел от единицы до :

!

Пример 1. Сколько четырехзначных чисел можно составить их цифр 1, 2, 3 и 4 с использованием всех указанных цифр в каждом числе?

Решение. Искомое число равно

Комбинация по элементов, составленное из различных элементов , отличающихся друг от друга либо элементами, либо их порядком, называются размещениями. Число всевозможных размещений

Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из семи различных цифр при отсутствии среди них нуля?

Решение. Искомое количество цифр

Комбинация, содержащая по элементов каждая, составленные из различных элементов и различающиеся хотя бы одним элементом, называются сочетаниями.

Число сочетаний дается формулой

Можно показать, что справедливы формулы

, . (1.1)

В частности, первую из формул удобно использовать в расчетах, когда

Виды случайных событий

Определение 1. События называют несовместимыми, если в одном и том же испытании появление одного из них исключает появление других.

Определение 2. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появление хотя бы одного из них является достоверным событием. Например, при произведении выстрела по мишени (испытание) обязательно будет либо попадание, либо промах; эти два события образуют полную группу.

Следствие. Если события, образующие группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Классическое определение вероятности

Назовем каждый из возможных результатов испытания элементарным событием, или исходным. Те элементарные исходы, которые интересуют нас, называются благоприятными событиями.

Определение 3. Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу равновозможных несовместимых элементарных исходов, образующих полную группу, называется вероятностью события А.

Вероятность события А обозначается Р(А).

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 2. Вероятность случайного события есть положительное число:

Следовательно, вероятность любого события удовлетворяет неравенству

Приведем примеры непосредственного вычисления вероятностей.

Пример 3. В коробке лежит 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад шаров будет 4 белых.

Решение. Найдем число благоприятных исходов: число способов, которыми можно взять 4 белых шара из 6 имеющихся, равно Общее число исходов определяется числом сочетаний из 10 по 5: Согласно определению 3 искомая вероятность

Теория сложения вероятностей

Несовместимые события

Определение 1. Суммой двух событий А и В называют событие , которое состоит в появлении события А, либо события В, либо событий А и В одновременно.

Аналогично определяется сумма нескольких событий, состоящие в появлении хотя бы одного из этих событий.

ТЕОРЕМА 1. Вероятность появления какого-либо из двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

(2)

Следствие. Вероятность появления какого-либо из нескольких попарно несовместимых событий равна сумме их вероятностей:

Пример 1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 4 концентрические зоны. Вероятности попадания в эти области соответственно равны 0,4, 0,3, 0,2 и 0,1. Найти вероятность попадания либо в первую, либо во вторую эоны.

Решение. Пусть событие А – попадание в первую зону мишени, а событие В – во вторую зону мишени. Эти события несовместимы, поэтому применимы теорема 17.1 и формула (1.2) сложения вероятностей. искомая вероятность равна

Полня группа событий

ТЕОРЕМА 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

Пример 2. На складе готовой продукции находятся изделия, среди которых 5% нестандартных. Найти вероятность того, что при выдаче изделия со склада оно будет стандартным.

Решение. Вероятность получения нестандартного изделия равна 0,05; события выдачи стандартного и нестандартного изделия образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна единицы, и тогда искомая вероятность равна 0,95.

Противоположные события

Определение 2. Два единственно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными.

Если событие обозначено через А, то противоположное ему событие обозначается через . Из теоремы 17.4 следует, что

(3)

Например, если при стрельбе по мишени попадание – это событие А, то событие - это промах; сумма их вероятностей равна единице – при выстреле обязательно будет либо попадание либо промах.

Теорема умножения вероятностей

Произведение событий и условная вероятность

Определение 1. Произведение двух событий А и В называется событие АВ, означающее совместное появление этих событий.

Например, если событие А – шар, событие В – белый цвет, то их произведение АВ – белый шар. Аналогично определяется произведение нескольких событий, как совместное появление их всех.

Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений кроме необходимого комплекса условий S не налагается, то такая вероятность называется безусловной. Если же налагаются другие дополнительные условия, содержащие случайные события, то вероятность такого события называется условной.

Определение 2. Вероятность события В в предположении о наличии события А называют условной вероятностью

ТЕОРЕМА 3. Вероятность произведения двух событий определяется формулой

(4)

Пример 3. В урне находится 4 белых шара, 5 красных и 3 синих. Наудачу извлекают по одному шару, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что в первый раз появится белый шар (событие А), во второй раз – красный (событие В), в третий – синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом извлечении условная вероятность появления красного шара во втором извлечении при условии появления в первый раз белого шара условная вероятность появления синего шара в третьем извлечении при условии появления в предыдущих извлечениях белого и красного шаров Искомая вероятность определяется по формуле (17.6) при :

Независимые события

Определение 3. Событие В называется независимым от события А, если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности (появление события А не влияет на вероятность события В):

Для независимых событий теорема умножения вероятностей (2) в общей форме имеет вид

(5)

Равенство (5) принимается за определение независимых событий. При этом если события независимы, то независимы также и соответствующие им противоположные события.

Приме р 4. Найти вероятность поражения цели при совместной стрельбе тремя орудиями, если вероятности поражения цели орудиями соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,7 (события А, В и С).

Решение. Поскольку события А, В и С являются независимыми, то искомая вероятность вычисляется, согласно формуле (1.5), при :

ТЕОРЕМА 3. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий определяется формулой

(6)

где - вероятности соответствующих противоположных событий (i=1, 2, …, n).

В частном случае, когда все события имеют одинаковую вероятность , из формулы (1.6) следует, что

, . (7)

Обобщение теоремы сложения и умножения

Появление только одно из независимых событий

Пусть два независимых события и имеют вероятности появления соответственно и . Найдем вероятность появления только одного из этих событий. Для этого введем новые события и . Событие состоит в том, что событие наступило, а событие не наступило; иными словами, .

Аналогичным образом определяется и событие (совместное ненаступление события и наступление события ). Поскольку события и независимы, то независимы также и противоположные события и , тогда события и являются несовместимыми. Вероятность наступления только одного из событий и находится как сумма вероятностей несовместимых событий и :

(8)

где ,

Пример 1. Предприниматель решил вложить свои средства поровну в два контракта, каждый из которых принесет ему прибыль в размере 100%. Вероятность того, что любой из контрактов не "лопнет", равна 0,8. Какова вероятность того, что по иссечении контрактов предприниматель по меньшей мере ничего не потеряет?

Решение. Предприниматель по крайней мере ничего не потеряет, если либо не "лопнет" один из контрактов (другой возместит ему потери), либо будут выполнены оба контракта. Пусть события и - это выполнение соответствующих контрактов (вероятность ); эти события являются независимыми. Противоположные им события и - невыполнение контрактов (вероятность ). Тогда события , и являются независимыми (последнее событие – это выполнение обоих контрактов). Искомая вероятность определяется с учетом формул (6) и (5):

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Определение 1. События А и В называют совместными, если в одном и том же испытании появление одного из них не исключает появления другого.

Для таких событий справедлива следующая теорема.

Теорема 5. Вероятность суммы совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения:

(9)

Пример 2. Вероятности поражения цели первым и вторым стрелками равны соответственно 0,8 и 0,9. Найти вероятность поражения цели при залпе.

Решение. Поскольку вероятности поражения цели стрелками (события А и В соответственно) не зависят от результатов стрельбы каждого из напарников, то эти события независимы. Искомая вероятность рассчитывается по формуле:

Аналогичный результат можно было бы получить и с применением формулы (6). Пусть событие А – поражение цели, и - события, соответствующие промахам стрелков, тогда

Формула полной вероятности

Пусть события несовместны и образуют полную группу, т.е., согласно теореме 17.2, выполняется равенство

Теорема 6. Вероятность события А, появление которого возможно лишь при наступлении одного из событий Вi, образующих полную группу (i=1, 2, …, n), равна сумме попарных произведений каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность появления события А:

(10)

Пример 3. В двух урнах находятся белые и красные шары: в первой – 4 белых и 5 красных, во второй – 7 белых и 3 красных. Из второй урны наудачу взяли шар и переложили его в первую урну. Найти вероятность того, что наудачу взятый после этого из первой урны шар будет белым.

Решение. Перекладывание из второй урны в первую белого шара (событие В1) и красного шара (событие В2) образует полную группу независимых событий. Их вероятности соответственно и . Условные вероятности извлечения из первой урны белого шара (событие А) при добавлении туда белого или красного шара из второй урны соответственно равны и . Искомая вероятность находится по формуле (10) при :

5. Рекомендуемое содержание отчета (для студента).

1. Название лабораторной работы.

2. Цель и задачи исследований.

3. Электронно-вычислительные средства для расчетов.

4. Журнал (тетрадь) исследований (вычислений) с обработкой полученных данных в виде таблиц, графиков (по требованию).

5. Выводы.

6. Анализ и защита лабораторной работы производится по результатам представленного студентами отчетов (перечень сделанного, рекомендации, ответы на рассмотренные в процессе выполнения контрольные вопросы).

Преподаватель оценивает знание каждого студента.

Литература