Определяя для средней арифметической (или относительной) величины два крайних значения: минимально возможное и максимально возможное, находят пределы, в которых может быть искомая величина генерального параметра. Эти пределы называют доверительными границами.
Доверительные границы — это то максимальное и минимальное значение, в пределах которого, при заданной степени вероятности безошибочного прогноза, может колебаться искомая средняя величина генерального параметра.
Доверительные границы средней арифметической в генеральной совокупности определяют по формуле:
Доверительные границы относительной величины в генеральной совокупности определяют по следующей формуле:
где Мген и Pген — значения средней и относительной величин, полученных для генеральной совокупности; Мвыб и Рвыб —значения средней и относительной величин, полученных для выборочной совокупности; mM и mР — ошибки репрезентативности выборочных величин; t — доверительный критерий (критерий точности, который устанавливают при планировании исследования; tm — доверительный интервал; tm=Δ, где Δ предельная ошибка показателя, полученного при выборочном исследовании.
Размеры предельной ошибки (Δ) зависят от коэффициента t, который избирает сам исследователь, исходя из необходимости получить результат с определенной степенью точности.
Величина критерия t связана определенными отношениями с вероятностью безошибочного прогноза — р и численностью наблюдений в выборочной совокупности.
Зависимость доверительного критерия t от степени вероятности
безошибочного прогноза (при n>30)
Степень вероятности безошибочного прогноза в % | Доверительный критерий —t |
95,0 | |
99,0 |
Для большинства медико-биологических и социальных исследований достоверными считаются доверительные границы, установленные с вероятностью безошибочного прогноза р = 95% и более. Чтобы найти критерий t при числе наблюдений n<30, необходимо воспользоваться специальной таблицей, в которой слева показано число наблюдений без единицы (n–1), а сверху (р) — степень вероятности безошибочного прогноза.
Значение критерия t для трех степенен вероятности (по Н. А. Плохинскому) | ||||||||||
P | P | |||||||||
n=n–1 | 95% | 99% | 99,9% | n=n–1 | 95% | 99% | 99,9% | |||
12,7 | 63,7 | 37,0 | 2,2 | 3,2 | 4,6 | |||||
4,3 | 9,9 | 31,6 | 2,2 | 3,1 | 4,4 | |||||
3,2 | 5,8 | 12,9 | 2,2 | 3,1 | 4,3 | |||||
2,8 | 4,6 | 8,6 | 2,2 | 3,0 | 4,1 | |||||
2,6 | 4,0 | 6,9 | 14—15 | 2,1 | 3,0 | 4,1 | ||||
2,4 | 3,7 | 6,0 | 16—17 | 2,1 | 2,9 | 4,0 | ||||
2,4 | 3,5 | 5,3 | 18—20 | 2,1 | 2,9 | 3,9 | ||||
2,3 | 3,4 | 5,0 | 21—2,4 | 2,1 | 2,8 | 3,8 | ||||
2,3 | 3,3 | 4,8 | 25—29 | 2,0 | 2,8 | 3,7 |
При определении доверительных границ сначала надо решить вопрос о том, с какой степенью вероятности безошибочного прогноза необходимо представить доверительные границы средней или относительной величины. Избрав определенную степень вероятности, соответственно этому находят величину доверительного критерия t при данном числе наблюдений. Таким образом, доверительный критерий t устанавливается заранее, при планировании исследования.
Любой параметр (средняя величина или относительная величина) может оцениваться с учетом доверительных границ, полученных при расчете.
Для ознакомления с методикой определения доверительных границ Мвыб и Рвыб рекомендуется записать исходные данные и провести расчеты в определенной логической последовательности:
Пример 1. Определить доверительные границы среднего уровня пепсина у больных гипертиреозом с 95% вероятностью безошибочного прогноза (р = 95%).
Условие задачи: n=49
Мвыб = 1 г%
mм = ±0,05 г%
р = 95% (следовательно при n = 49 t = 2).
Определяем доверительные границы средней величины в генеральной совокупности.
Формула Мген = Мвыб ± tmМ
Решение: Мген = 1 г% ± 2 х 0,05 г%
Мген не более 1 г% +0,1 г% = 1,1 г%,
Мген не менее 1 г%—0,1 г% =0,9 г%.
Вывод: Установлено с вероятностью безошибочного прогноза (р = 95%>, что средний уровень пепсина в генеральной совокупности у больных с гипертиреозом не превышает 1,1 г% и не ниже 0,9 г%.
Пример 2. Определить доверительные границы показателя частоты дистрофии пародонта у больных с абсцессом легкого с вероятностью безошибочного прогноза р = 95%.
Условие задачи:
n=110
Рвыб =40%
mр = ±4,7%
р =95% (следовательно, при n=110 t=2).
Определяем доверительные границы относительного показателя в генеральной совокупности.
Формула: Рген = Рвыб ± tmP,,
Решение: Рген = 49% ±2 х 4,7%
Рген не более 40% + 9,4 = 49,4%
Рген не менее 40% –9,4 = 30,6%
Вывод: Установлено с 95% вероятностью безошибочного прогноза (р = 95%), что дистрофические изменения пародонта в генеральной совокупности наблюдаются у больных с абсцессом легкого не чаще, чем в 49,4%, и не реже, чем в 30,6% случаев.
Как видно, доверительные границы зависят от размера доверительного интервала (tm=Δ).
Анализ доверительных интервалов указывает, что при заданных степенях вероятности (р) и n ≥30 t имеет неизменную величину и при этом доверительный интервал зависит от величины ошибки репрезентативности (mм или mР).
С уменьшением величины ошибки суживаются доверительные границы средних и относительных величин, полученных на выборочной совокупности, т. е. уточняются результаты исследования, которые приближаются к соответствующим величинам генеральной совокупности.
Если ошибка большая, то получают для выборочной величины большие доверительные границы, которые могут противоречить логической оценке искомой величины в генеральной совокупности.
Например, при определенном режиме питания и тренировок спортсменов средняя годовая прибавка массы тела у 80 спортсменов составила Мвыб=1 кг; mM= ±0,8 кг. При степени вероятности р = 95,0% и t = 2 Мген = 1 кг ± 2 х 0,8 кг. Следовательно:
Мген не более + 2,6 кг,
Мген не менее – 0,6 кг.
Эти противоречивые данные означают, что при указанном режиме спортсмены могут дать большую среднюю прибавку массы тела (до +2,6 кг), но могут и убавить массу тела в среднем на 600 г. Таким образом, остается по-прежнему невыясненным вопрос о степени влияния данного режима спортсменов на массу их тела.
В подобном случае надо искать резервы сокращения размаха доверительных границ в размере величины ошибки репрезентативности. Прежде всего надо проанализировать уровень разнообразия признака по среднему квадратическому отклонению (σ) с позиций однородности группы. Необходимо также иметь в виду, что большое влияние на величину средней ошибки, а следовательно, и на доверительные границы оказывает численность наблюдений.
Доверительные границы Мвыб и Рвыб зависят не только от средних ошибок этих величин (mM или mР), но и от избранной исследователем степени вероятности безошибочного прогноза (р). При большой степени вероятности размах доверительных границ увеличивается.