Упражнения

5.3.8. Средняя продолжительность службы батареек «крона» при непрерывной работе согласно заводскому стандарту составляет 21,5 часа. Лаборатория проверила 6 батареек на одном из предприятий и получила следующие данные продолжительности службы (в часах):

19 18 22 20 16 25

Свидетельствуют ли эти данные, что батарейки, выпускаемые данным предприятием, имеют более короткую продолжительность службы, чем это предписано стандартом изготовления?

Ответить на следующие вопросы.

1) Какова постановка задачи (формулировка основной и альтернативной гипотез)?

2) Какую статистику следует использовать в данной задаче? Каковы ее распределение и область изменения?

3) Какую гипотезу подтверждает эксперимент при уровне значимости 5%?

4) Как изменится результат проверки, если увеличить вероятность ошибки первого рода в два раза?

5) Найти такое наименьшее значение уровня значимости, при котором основная гипотеза будет отвергнута в пользу альтернативы.

5.3.9. По техническим условиям средняя прочность на разрыв троса составляет 2000 кг. В результате испытаний 20 кусков троса было установлено, что средняя прочность на разрыв равна 1955 кг, а выборочная исправленная дисперсия равна 625 кг². Удовлетворяет ли образец троса техническим условиям?

5.3.10. По паспортным данным автомобильного двигателя расход топлива на 100 км пробега составляет 10 л. В результате изменения конструкции двигателя ожидается, что расход топлива уменьшится. Для проверки проведены испытания 25 случайно отобранных автомобилей с новым двигателем, давшие следующие результаты: выборочное среднее расхода топлива оказалось равным 9,3 л на 100 км пробега. Предполагая, что выборка получена из нормально распределенной совокупности со средним =10 л и известной дисперсией =4 л², проверить на уровне значимости 5% подтверждаются ли ожидания конструкторов?

5.3.11^*. В условиях примера 5.2.10 предположим, что альтернативой основной гипотезе служит , утверждающая, что =9 л. Критическую область зададим неравенством 9,44. Найти вероятности ошибок первого и второго рода для критерия с такой критической областью.

5.3.12. Статистика, собранная в университете в течение многих лет, показывает, что 64% студентов естественных факультетов успешно сдают экзамен по математике в первую сессию. В осенний семестр 2006/07 у.г. из 400 первокурсников успешно сдали экзамен по математике 280 человек. Показывает ли этот результат значимое улучшение знаний студентов по математике (принять =0,05)?

5.3.13. Высказывается предположение, что выпускники специализированных физ-мат классов имеют более высокие знания по математике при поступлении в МИЭТ, чем выпускники обычных классов зеленоградских школ. Наудачу отобрали 10 школьников из 11 класса лицея и 10 школьников из 11 класса школы №909. После проведения тестового экзамена получены следующие результаты (в 100-балльной шкале оценок):

лицей (): 75 73 100 68 79 76 81 65 82 90

шк.909 (): 85 84 75 47 80 65 55 45 70 65

1) Согласуются ли эти данные с высказанным предположением на уровне значимости 2,5%?

2) Для увеличения надежности вывода тестированию была подвергнута большая группа школьников: из каждой школы по 25 человек. После обработки выборок получены следующие результаты: =75,5; =112,3; =65,2; =220,6. Повторить процедуру проверки при том же уровне значимости.

5.3.14. Лекарства, применяемые обычно после операции, уменьшают болевые ощущения у 80% пациентов. Испытывается новое лекарство для той же цели. Для скольких пациентов из 100 оно должно быть эффективным, чтобы отдать ему предпочтение на 1%-ом уровне значимости?

Замечание. Задача считается решенной, если получены правильные ответы на все поставленные в ней вопросы.