Точечные оценки параметров распределения

При изготовлении каких-либо деталей при конструировании РЭС необходимо знать, удовлетворяют ли 'их параметры требованиям технологической точности. Для этого и служит оценка, которая характеризует истинное значение параметра в некоторой точке (точечная оценка) либо в интервале (доверительная оценка).

Оценкой случайной величины Х по объему выборки n называется однозначно определенная функция результатов наблюдении над этом случайной величиной, и можно записать:

Критические значения отношения G при доверительных вероятностях 0,95 и 0,99.

Таблица П6.

	Результаты измерений

	0,544	0,507	0,478	0,439	0,412	0,365	0,307	0,251	0,2
0,633	0,566	0,553	0,504	0,47	0,409	0,335	0,264	0,2
	0,48	0,445	0,418	0,382	0,357	0,314	0,261	0,212	0,167
0,564	0,52	0,487	0,44	0,408	0,353	0,286	0,223	0,167
	0,431	0,397	0,373	0,338	0,315	0,276	0,228	0,183	0,143
0,508	0,466	0,435	0,391	0,362	0,311	0,249	0,193	0,143
	0,391	0,36	0,336	0,304	0,283	0,246	0,202	0,162	0,125
0,463	0,427	0,393	0,352	0,325	0,278	0,221	0,17	0,125
	0,358	0,329	0,307	0,277	0,257	0,223	0,182	0,145	0,111
0,463	0,427	0,393	0,352	0,325	0,278	0,221	0,17	0,125
	0,331	0,303	0,282	0,254	0,235	0,203	0,166	0,131	0,1
0,393	0,357	0,331	0,295	0,27	0,23	0,181	0,138	0,1
	0,242	0,22	0,203	0,182	0,167	0,143	0,114	0,089	0,067
0,288	0,259	0,239	0,21	0,192	0,161	0,125	0,093	0,067
	0,192	0,174	0,16	0,142	0,13	0,111	0,088	0,068	0,05
0,229	0,205	0,188	0,165	0,15	0,125	0,096	0,071	0,05
	0,138	0,124	0,114	0,1	0,092	0,077	0,06	0,046	0,033
0,164	0,145	0,133	0,116	0,105	0,087	0,066	0,048	0,033
	0,108	0,097	0,089	0,078	0,071	0,06	0,046	0,035	0,025
0,128	0,114	0,103	0,09	0,082	0,067	0,05	0,036	0,025
	0,077	0,068	0,062	0,055	0,05	0,041	0,041	0,032	0,017
0,09	0,08	0,072	0,063	0,057	0,046	0,034	0,025	0,017
	0,042	0,037	0,034	0,029	0,027	0,022	0,017	0,012	0,008
0,049	0,043	0,039	0,033	0,03	0,024	0,018	0,013	0,008

В практике обработки статистических данных оценивают математическое ожидание, и дисперсию случайной величины X. Математическое ожидание - это центр группирования случайной величины и в общем случае определяется выражением

где f(x) - плотность распределения случайной величины.

Дисперсия - это отклонение случайной величины от ее математического ожидания, определяется выражением

Чтобы приблизить с достаточной точностью значение случайной оценочной функции к истинному значению параметра, эта функция должна по возможности обладать следующими свойствами: состоятельностью, несмещенностью и эффективностью.

Оценка называется состоятельной, если с увеличением п - объема выборки она приближается (сходится по вероятности) к оцениваемому параметру .

Несмещенной называется такая оценка, математическое ожидание от которого равно оцениваемому параметру: М[ ] = , т. е. она контролирует наличие систематической ошибки.

Эффективной оценкой называется такая несмещенная оценка, которая имеет наименьшую дисперсию всех несмещенных оценок параметра, вычисленных по выборкам одного и того же объема.

Несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания μ случайной величины X является арифметическое среднее , вычисленное по n независимым наблюдениям над этой случайной величиной.

где - результат i -го наблюдения.

Эффективность этой оценки зависит от вида закона распределения случайной величины X. Если случайная величина распределена по нормальному закону (рис.1) с параметрами μ, плотность нормального закона распределения

то среднее арифметическое Х имеет минимальную дисперсию, равную , и является эффективной оценкой математического ожидания μ.

f(x)

μ-σ μ μ+σ x

Рис. 1

Состоятельная оценка дисперсии определяется выражением:

. (2)

Состоятельной и несмещенной оценкой дисперсии является оценка:

. (3)

Сравнивая оценки и получаем:

, (4)

величину называют поправкой Бесселя, а оценку - исправленной

выборочной дисперсией. Введение поправки Бесселя существенно лишь для малого объема выборки.

Оценка не является эффективной, но с увеличением при нормальном законе распределения отношение ее дисперсии к минимально возможной приближается к единице и ее можно считать "асимптотически эффективной".

Состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой дисперсии является:

, (5)

где μ - математическое ожидание случайной величины X. Из трех рассмотренных оценок дисперсии наиболее употребительна в практических расчетах

оценка (3), так как μ обычно неизвестно, и в этих условиях она предпочтительнее оценки Δ (2).




	19.37	19.38	19.39	19.4	19.43	19.44	19.5
99.36	99.38	99.4	99.41	99.44	99.45	99.5
	8.84	8.81	8.78	8.76	8.69	8.66	8.53
17.49	27.34	27.23	27.13	26.83	26.69	26.12
	6.04		5.96	5.93	5.84	5.8	5.63
14.8	14.66	14.54	14.45	14.15	14.02	13.46
5	4.82	4.78	4.74	4.7	4.6	4.56	4.36
10.27	10.15	10.05	9.96	9.68	9.55	9.02
	4.15	4.1	4.06	4.03	3.92	3.87	3.67
8.1	7.98	7.87	7.79	7.52	7.39	6.88
	3.73	3.68	3.63	3.6	3.49	3.44	3.23
6.84	6.71	6.62	6.54	6.27	6.15	6.65
	3.44	3.39	3.34	3.31	3.2	3.15	2.93
6.03	5.91	5.82	5.74	5.48	5.36	4.86
	3.23	3.18	3.13	3.1	2.98	2.93	2,71
5.47	5.35	5.26	5.18	4.92	4.8	4.31
	3.07	3.02	2.97	2.94	2.82	3.77	2.54
5.06	4.95	4.85	4.78	4.52	4.41	3.91
	2.95	2.9	2.86	2.82	2.7	2.65	2.4
4.74	4.63	4.54	4.46	4.21	4.1	3.6
	2.85	2.8	2.76	2.72	2.6	2.54	2.3
4.5	4.39	4.3	4.22	3.98	3.86	3.36
	2.59	2.54	2.49	2.45	2.33	2.28	2.01
3.89	3.78	3.49	3.61	3.37	3.25	2.75
	2.45	2.4	2.35	2.31	2.18	2.12	1.84
3.56	3.45	3.37	3.3	3.05	2.94	2.42
	1.94	1.88	1.83	1.79	1.64	1.57
2.15	2.41	2.32	2.24	1.99	1.87	1.09

продолжение таблицы П5




	18.51		19.16	19.25	19.3	19.33	19.36
98.49	99.01	99.17	99.25	99.3	99.33	99.34
	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94	8.88
34.12	30.81	29.46	28.71	28.24	27.91	27.67
	7,71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16	6.09
21.2		16.59	15.98	15.52	15.21	14.98
	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.95	4.88
16.26	13.27	12.06	11.39	10.97	10.67	10.45
	5,99	5.14	4.76	4.53	4.39	4.28	4.21
13.74	10.92	9.78	9.15	8.75	8.49	8.26
	5.59	4.74	4.35	4.12	3.97	3.87	3.79
12.25	9.55	8.45	7.85	7.46	7.19
	5.32	4.46	4.07	3.84	3.69	3.58	3.5
11.26	8.65	7.59	7,01	6.63	6.37	6.19
	5.12	4.26	3.86	3.63	3,48	3.37	3.28
10.56	8.02	6.99	6,42	6.06	5.8	5.62
	4.96.	4.1	3.71	3.48	3.33	3.22	3.14
10.04	7.56	6.55	5.99	5.64	5.39	5.21
	4.84	3.98	3.59	3.36	3.2	3.09	3.01
9.85	7.2	6.22	5.67	5.32	5.07	4.88
	4.75	3,88	3.49	3.26	3.11		2.92
9.33	6.93	5.95	5.41	5.06	4.82	4.65
	4.49	3.63	3.24	3.01	2.85	2.74	2.66
8.53	6.23	5.29	4.77	4.44	4.2	4.03
	4.35	3.49	3.1	2.87	2.71	2.6	2.52
8.1	5.85	4.94	4.43	4.1	3.87	3.71
	3.84	2.99	2.6	2.37	2.21	2.09	2.01
6.64	4.6	3.78	3.32	3.02	2.8	2.64