Библиографический список

1. Адлер Ю. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. Планирование эксперимента
при поиске оптимальных условий. М., «Наука», 1976.

2. Ашмарин И. П. Быстрые методы статистической обработки и планирования
эксперимента. ЛГУ, 1975.

3. Смирнов В. Н., Бунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей
математической статистики для технических приложений.

4. Яншин А. А. Теоретические основы конструирования, технологии и
надежности ЭВА.

Таблица 2.

Варианты заданий	Результаты измерений

Таблица 3

Варианты заданий	Результаты измерений
	2,5	2,3	1,9	2,1	1,8	1,9	1,7	2,0	2,2	2,1
	2,3	2,1	1,7	1,5	2,9	2,5	1,8	2,4	1,9	2,2
	2,1	2,5	2,0	1,9	2,1	2,3	2,1	1,8	1,7	2,2
	2,8	2,4	2,3	1,9	2,2	2,1	1,6	1,9	2,0	2,3
	2,5	2,7	2,0	2,0	1,8	2,4	2,7	1,5	1,8	2,0
	2,0	2,2	2,1	1,7	1,6	2,0	2,4	1,9	2,3	2,5

.

В табл. П2 найдем аргумент функции Лапласа Z =0,24. Тогда доверительный интервал для математического ожидания получается:

[95,76; 96,52],

Ответ: генеральное среднее сопротивлений резисторов выпускаемой партии находится в интервале [92,43; 99,86] с вероятностью 0,98.

Задача 2.

Для 12 реле, случайным образом выбранных из партии, измерено напряжения срабатывания и вычислено среднее значение = 27,4 В и состоятельная оценка дисперсии Δ = 7В². Какова вероятность того, что выборочное среднее оценивает математическое ожидание напряжения срабатывания для всей партии с точностью ±4 В?

Решение.

Дисперсия генеральной совокупности неизвестна, поэтому для вычислена используем формулу (8). По условию задачи доверительный интервал для напряжения срабатывания реле находится в интервале 27,4 ±4В, т. е

.

Вычислим состоятельную и несмещенную оценку среднеквадратического отклонения, используя формулы (4) и (6):

.

Найдем коэффициент Стьюдента

.

По табл. П3 по числу степеней свободы к=n-1=11 и коэффициенту t =5.13 находим уровень значимости α=0,0005.

По уровню значимости находим доверительную вероятность р=1-а=0,9995.

Ответ: вероятность того, что выборочное среднее оценивает математическое ожидание напряжения срабатывания для всей партии с точностью ±4В больше 0,9995.

Задача 3.

Определить доверительный интервал для дисперсии выходного напряжения микросхем по выборке:

2,4 1; 2,38; 2,39; 2,37; 2,43; 2,24; 2,27; 2,32; 2,36; 2,37 В.

Решение.

Найдем состоятельную и несмещенную оценку дисперсии по формуле (3),

предварительно вычислив среднее значение = 2,35.

Δ =0,016.

По числу степеней свободы К=9, и задавшись уровнем значимости α =0,05

по табл. П4 находим коэффициенты Пирсона =3,33 для верхней границы

доверительного интервала и =16,9 для нижней границы.

Находим доверительный интервал для дисперсии по формуле (10), когда математическое ожидание неизвестно:

Ответ: дисперсия выходного напряжения микросхем находится в интервале (0,01; 0,04].

Варианты заданий

Задача_1.

Погрешность прибора оценивалась путем многократного измерения эталонной величины. Результаты вычисленной абсолютной ошибки измерения занесены в табл. 1. После проверки выборки на грубые ошибки определить доверительный интервал, в котором находится математическое ожидание абсолютной погрешности прибора, распределенной по нормальному закону с дисперсией σ = 0,1. Принять доверительную вероятность Р = 0,99.

Таблица 1.

Варианты заданий	Результаты измерений
	-0,196	0,138	-0,147	0,007	0,152	0,017	-0,039	0,065	0,04	-0,227
	0,013	0,004	-0,02	0,117	-0,061	-0,111	0,027	0,003	-0,015	0,036
	0,114	-0,031	-0,11	0,039	0,065	-0,117	-0,18	0,016	0,141	0,125
	-0,152	0,143	-0,134	0,005	0,161	0,013	-0,093	0,056	0,05	-0,272
	0,031	0,174	-0,045	0,015	0,148	0,019	-0,067	0,034	-0,06	-0,196
	-0,136	0,144	-0,056	0,013	0,148	-0,04	-0,05	-0,03	0,068	-0,131

Задача 2.

Измерен коэффициент передачи фильтра у 10 экземпляров (табл.2). С какой вероятностью можно утверждать, что выборочное среднее оценивает математическое ожидание коэффициента передачи с точностью ±0,15. Предварительно проверить выборку на наличие ошибок.

Задача 2.

С какой вероятностью можно отвергнуть гипотезу о равенстве математических ожиданий длины деталей, изготавливаемых на разных технологических линиях, если известны результаты измерения этого параметра для выборок, взятых с каждой линии (табл. 2).

Задача 3.

Для контроля устойчивости технологического процесса производства изделий в течение смены было взято 10 выборок, каждая объемом 16 изделий. Вычислены состоятельные оценки дисперсии величины контролируемого параметра для каждой выборки (табл.3). Можно ли с доверительной вероятностью Р=0,95 утверждать, что технологический процесс устойчив.

Таблица 1.

Варианты заданий	Результаты измерений

Задача 2.

Для выборки объемом п =10 из партии блокинг-генераторов вычислены оценки

математического ожидания и дисперсиям =12,8 кГц, =0,11 кГц частоты импульсов. После испытания этой партии на воздействие влажности из партии

извлечена выборка объемом п = 16,для которой также вычислены оценки =12,35 кГц, =0,07 кГц. Проверить при уровне значимости α =0,05 гипотезу о равенстве математических ожиданий частоты импульсов блокинг-генераторов относительно конкурирующей гипотезы, заключающейся в том. что после испытаний частота импульсов уменьшилась,

Решение.

Конкурирующая гипотеза Н :M[X₂]>M[X ]. Вычисляем наблюдаемое значение критерия Стьюдента по формуле (12):

.

Варианты заданий	Результаты измерений

По табл. ПЗ для уровня значимости α =0,05 и числу степеней свободы К=10+16-2=24 находим табличное значение t =2,06. t >t , таким образом, отвергается гипотеза о равенстве математических ожидании и утверждается конкурирующая гипотеза, заключающаяся в том, что частота импульсов после испытаний блокинг-генераторов уменьшилась.

Задача 3.

Для сравнения точности пяти приборов произведено 6 измерений одной и той же величины каждым прибором. С доверительной вероятностью Р= 0,99 проверить гипотезу о том, что точность приборов одинакова, если состоятельные оценки дисперсий результатов измерений равны: 0,21; 0,35; 0,38; 0,65; 0,81.

Решение.

Выбираем максимальную оценку дисперсии =0,81. Вычисляем значение критерия Кохрена по формуле (14):

.

По числу степеней свободы К=6-1=5 и количеству приборов, на которых производились измерения l=5 находим по табл. П6 значение G-критерия. G =0,588. Таким образом, G <G .

Ответ: точность пяти приборов одинакова.

Варианты заданий

Задача 1,

Известна частота генератора цифрового частотомера до ремонта и после него. Данные измерений сведены в табл. 1. Среднее квадратическое отклонение частоты равно 90 Гц. Проверить гипотезу о том, что после ремонта существенно уменьшилась частота генератора цифрового частотомера.

Таблица 2.

Варианты заданий	Результаты измерений
	0,88	0,76	0,79	0,81	0,74	0,77	0,79	0,62	0,83	0,89
	0,24	0,75	0,83	0,75	0,65	0,89	0,76	0,78	0,86	0,78
	0,37	0,84	0,62	0,69	0,81	0,75	0,89	0,92	0,66	0,81
	0,79	0,85	0,68	0,8	0,75	0,81	0,73	0,82	0,74	0,75
	0,84	0,79	0,73	0,67	0,71	0,75	0,81	1,61	0,8	0,91
	0,98	0,54	0,63	0,74	0,88	0,79	0,89	0,74	0,61	0,65

Задача 3.

Из партии блокинг-генераторов взята выборка и измерены значения частоты выходных импульсов. Результаты измерений сведены в табл. 3. Какова вероятность того, что верхняя граница одностороннего доверительного интервала для среднего квадратического отклонения частоты не превысит 200 Гц? Предварительно проверить выборку на наличие резко отклоняющихся вариант.

Таблица 3.