Матрица плотности

При квантовомеханическом рассмотрении для полного описания состояния системы в самом общем виде используется вектор состояния (в обозначениях Дирака). При этом, если имеется полный набор собственных состояний некоторой динамической переменной , образующих ортонормированный базис (для определенности будем говорить об энергии), то согласно принципа суперпозиции, можно разложить по этому базису:

(1)

Коэффициенты в этом соотношении можно определить как «проекции», соответственно чему введем оператор проектирования на состояние

, (2)

так что

Суммируя по , получаем, используя (1):

откуда следует условие нормировки: .

Если система находится в определенном состоянии , то квантовомеханическое среднее величины в этом состоянии определяется как:

С другой стороны, такое же выражение для среднего можно получить, вычисляя его как след оператора в исходном базисе:

Заметим, что это выражение инвариантно относительно выбора базиса.

Если же состояние системы () точно не определено, а может реализоваться с определенной вероятностью , что имеет место при ее взаимодействии с окружающей ее системой (термостатом), то естественно определить как среднее по всевозможным реализациям с соответствующими вероятностями ():

где - элемент матрицы плотности, построенный на исходной системе собственных функций, который также можно назвать матричным элементом статистического оператора

Полученное выражение для среднего можно записать в виде, не зависящем от выбора базиса:

Если равны нулю все , кроме одного, то состояние системы определено точно, и о нем говорят как о чистом. В противном случае система обнаруживает себя сразу в нескольких состояниях, и о таком состоянии говорят как о смешанном. Отметим, что в чистом состоянии, как следует из определения .

Эволюционное уравнение для матрицы плотности получим, используя представление:

Тогда

Отсюда можно видеть, что подчиняется уравнению

Для системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, распределение является гиббсовским:

, .

В координатном представлении матрица плотности является функцией двух переменных. Если - волновая функция, соответствующая чистому состоянию системы с термостатом, то матрица плотности в координатном представлении получается интегрированием по координатам термостата:

Отсюда видно, что плотность вероятности обнаружить частицу в заданной точке определяется диагональным матричным элементом после интегрирования по переменным термостата.

Представим ее в виде разложения по с. ф. гамильтониана, используя явный вид :

Т. к. , то соответствующий статистический оператор представим в виде:

в силу условия нормировки. Тогда статистический интеграл и среднюю энергию можно представить в инвариантной форме:

Помимо удобно ввести также «ненормированный» статистический оператор , для которого, справедливо уравнение:

с «начальным» условием (при ) (оператор действует на переменную ). Для того, чтобы убедиться в этом, достаточно записать матрицу плотности в энергетическом представлении в виде: