Аналогично получается наиболее вероятное значение энергии

35. Найти вероятность того, что две частицы имеют абсолютные значения скорости относительного движения в интервале от до . Найти также .

Решение: Ввиду независимости движения частиц функция распределения распадается на произведение функций распределения каждой из частиц:

, где .

Перейдем от к новым переменным – относительной скорости и скорости центра масс :

, , следовательно , (якобиан перехода равен единице) и .

Далее нетрудно показать, что

где , а - приведенная масса .

Следовательно

Функция распределения по относительной скорости получается отсюда интегрированием по (обе функции распределения автоматически нормированы).

Среднее значение относительной скорости:

{если частицы одного сорта, то } = .

36. Найти число соударений в единицу времени молекулы радиуса и среднюю длину свободного пробега. Концентрация молекул .

Решение:

Если считать, что газ однородный, и зафиксировать все частицы кроме одной, то она будет двигаться по цилиндрической трубе со скоростью , пока не встретит «неподвижную» частицу. Тогда из элементарной пропорции находим: , (т. к. в цилиндре находится только одна частица). Очевидно:

где t - среднее время между столкновениями. Число столкновений в единицу времени:

Средняя длина пробега:

37. Запирающий потенциал, создающий электронным облаком вблизи поверхности . Определить плотность тока термоэлектронной эмиссии.

Решение:

Вклад в термоэлектронную эмиссию дают лишь те электроны, скорость которых подчиняется условию (ось перпендикулярна поверхности).

Вклад в термоэлектронный ток электронов, движущихся в интервале скоростей , определяется распределением Максвелла:

{ } =

Следовательно

38. Найти центр масс столбом идеального газа в однородном поле тяжести, считая температуру неизменной.

Решение: Если проинтегрировать исходное распределение по всем скоростям, то получим распределение Больцмана:

определяющее вероятность координаты одной частицы (по координатам и импульсам остальных частиц мы также проинтегрировали). Остается еще проинтегрировать по и и все интегралы включить в . тогда, в случае однородного поля ()

, .

Находим из условия нормировки: .

Положение центра масс находим по общей формуле:

, но - есть вероятность координаты (). Поэтому:

(здесь – масса одной молекулы)

NB , следовательно, в приближении изотермичности атмосферы получаем барометрическую формулу .

39. Смесь идеальных газов, состоящих из одинакового количества частиц с различными массами атомов, заключена в цилиндр высоты и помещена в поле тяжести Земли. Определить центр масс системы.

Решение: С учетом результата предыдущей задачи перепишем распределение в виде:

, .

Тогда центр тяжести одного сорта частиц:

Общий центр тяжести:

40. Вывести закон Дальтона для смеси N идеальных газов , где – парциальное давление.

Решение: Гамильтониан смеси: .

Это означает, что зависимость от объема имеет следующий вид:

но - парциальное давление и, следовательно

41. В тонкостенном сосуде, содержащем идеальный газ с концентрацией и средней скорости молекул , проделано небольшое круглое отверстие сечением . Определить число молекул, попадающих в единицу времени на круглый диск радиуса , находящийся на расстоянии от отверстия.

Решение: Число частиц, вылетающих в единицу времени из отверстия и движущихся поду углами в интервале (и, естественно попадающих на диск, см. рис. 4) к оси :

где - –компонента плотности потока таких молекул. Считая, что скорости молекул распределены по Максвеллу, получаем:

С учетом того, что средняя скорость молекул:

получаем .

NB При получаем скорость истечения газа из отверстия -.

41. Определить среднюю скорость молекул, выходящих из отверстия.

Решение: Воспользуемся распределением Максвелла. При этом нас будет интересовать только – проекция скорости. Число частиц, имеющих скорость в интервале :