2015-10-13
2140
35. Найти вероятность того, что две частицы имеют абсолютные значения скорости относительного движения 
в интервале от 
до 
. Найти также 
.
Решение: Ввиду независимости движения частиц функция распределения распадается на произведение функций распределения каждой из частиц:
, где 
.
Перейдем от 
к новым переменным – относительной скорости 
и скорости центра масс 
:
, 
, следовательно 
, 
(якобиан перехода равен единице) и 
.
Далее нетрудно показать, что
,
где 
, а 
- приведенная масса 
.
Следовательно
Функция распределения по относительной скорости 
получается отсюда интегрированием по 
(обе функции распределения автоматически нормированы).
.
Среднее значение относительной скорости:
=
{если частицы одного сорта, то 
} = 
.
36. 
Найти число соударений в единицу времени молекулы радиуса 
и среднюю длину свободного пробега. Концентрация молекул 
.
Решение:
Если считать, что газ однородный, и зафиксировать все частицы кроме одной, то она будет двигаться по цилиндрической трубе со скоростью , пока не встретит «неподвижную» частицу. Тогда из элементарной пропорции находим: 
, (т. к. в цилиндре находится только одна частица). Очевидно:
,
где t - среднее время между столкновениями. Число столкновений в единицу времени:
.
37. Запирающий потенциал, создающий электронным облаком вблизи поверхности 
. Определить плотность тока термоэлектронной эмиссии.
Решение:
Вклад в термоэлектронную эмиссию дают лишь те электроны, скорость которых подчиняется условию (ось 
перпендикулярна поверхности).
.
Вклад в термоэлектронный ток электронов, движущихся в интервале скоростей 
, определяется распределением Максвелла:
{ 
} =
.
Следовательно
38. Найти центр масс столбом идеального газа в однородном поле тяжести, считая температуру неизменной.
Решение: Если проинтегрировать исходное распределение по всем скоростям, то получим распределение Больцмана:
,
определяющее вероятность координаты одной частицы (по координатам и импульсам остальных частиц мы также проинтегрировали). Остается еще проинтегрировать по 
и 
и все интегралы включить в 
. тогда, в случае однородного поля (
)
, 
.
Находим из условия нормировки: 
.
Положение центра масс находим по общей формуле:
, но 
- есть вероятность координаты (
). Поэтому:
.
(здесь 
– масса одной молекулы)
NB 
, следовательно, в приближении изотермичности атмосферы получаем барометрическую формулу 
.
39. Смесь 
идеальных газов, состоящих из одинакового количества частиц с различными массами атомов, заключена в цилиндр высоты 
и помещена в поле тяжести Земли. Определить центр масс системы.
Решение: С учетом результата предыдущей задачи перепишем распределение в виде:
, 
.
Тогда центр тяжести одного сорта частиц:
.
Общий центр тяжести:
40. Вывести закон Дальтона для смеси N идеальных газов 
, где 
– парциальное давление.
Решение: Гамильтониан смеси: 
.
Это означает, что зависимость от объема имеет следующий вид:
,
но 
- парциальное давление и, следовательно
41. 
В тонкостенном сосуде, содержащем идеальный газ с концентрацией 
и средней скорости молекул , проделано небольшое круглое отверстие сечением 
. Определить число молекул, попадающих в единицу времени на круглый диск радиуса 
, находящийся на расстоянии от отверстия.
Решение: Число частиц, вылетающих в единицу времени из отверстия и движущихся поду углами в интервале 
(и, естественно попадающих на диск, см. рис. 4) к оси 
:
,
где 
- –компонента плотности потока таких молекул. Считая, что скорости молекул распределены по Максвеллу, получаем:
С учетом того, что средняя скорость молекул: 
получаем 
.
NB При 
получаем скорость истечения газа из отверстия 
-.
41. Определить среднюю скорость молекул, выходящих из отверстия.
Решение: Воспользуемся распределением Максвелла. При этом нас будет интересовать только – проекция скорости. Число частиц, имеющих скорость в интервале 
:
. Следовательно, средняя скорость 
.
