Примеры

1. Для свободной частицы и мы получаем уравнение диффузии. Решение, удовлетворяющее начальному условию имеет вид:

.

Для нахождения статистической суммы достаточно взять след от обеих частей полученного равенства:

,

где - линейный размер системы.

Явный вид для свободной частицы в термостате можно получить и по-другому, если в исходном выражении:

Перейти от суммирования к интегрированию с помощью замен:

, .

.

1. Осциллятор.

Гамильтониан имеет вид , поэтому соответствующее уравнение

.

Введем безразмерную координату и обратную температуру:

, .

В новых переменных уравнение примет вид:

с начальным условием . Будем искать его решение в виде гауссовского с некоторыми коэффициентами, подлежащими определению:

.

Подставляя в уравнение, выполняя дифференцирование и приравнивая друг другу коэффициенты при различных степенях , получаем систему для определения и (штрих означает производную по ):

Откуда , причем в силу начального условия для гауссовского распределения , следовательно, и

Интегрируя оставшиеся уравнения, получаем:

, .

где и - константы интегрирования. Таким образом:

.

Для определения и заметим, что при высоких температурах () кинетическая энергия осциллятора велика, и поэтому его матрица плотности должна совпадать с матрицей плотности для свободной частицы:

.

С другой стороны очевидно, что

Сравнивая два последних выражения, находим, что:

, .

Таким образом

При получаем плотность вероятности обнаружить осциллятор в заданной точке пространства:

.

С помощью найденной функции находим

,

Следовательно, среднее значение потенциальной энергии

.

Среднее значение полной энергии, вычисленное с помощью статистической суммы (см. зад. 19)

,

и сразу можно найти среднюю кинетическую энергию:

Статистическая сумма для осциллятора:

что совпадает с результатом задачи (19).

Свободная энергия: