2015-10-13
516
Средняя энергия системы (твердое тело, состоящее из 
атомов) 
осцилляторов с одинаковой частотой 
была найдена ранее:
однако если существует спектр колебаний, т.е. число колебаний на интервал энергий 
, то
.
Нашей целью будет найти 
и 
.
Будем использовать следующую модель: Куб стороной 
, в котором происходят колебания, которые будем представлять себе как колебания атомов в поле упругих волн. Эти волны могут быть двух видов: продольные и поперечные, которым соответствуют разные фазовые скорости 
и 
и уравнения:
и 
,
где 
- вектор смещения (в продольной волне 
, в поперечной 
). Граничные условия для выберем в виде 
. Рассмотрим, например, –волну. Ищем решение в виде стоячей волны:
.
Подставляя в уравнение, находим, используя граничные условия:
, 
, 
,
где 
– целые числа.
,
где 
- некоторый радиус
Таким образом, каждое колебание характеризуется набором трех целых чисел , которым в пространстве чисел соответствует точка. Кроме того, колебания и 
зависимы, следовательно, можно рассматривать только целые положительные 
. Так как 
, то число колебаний в интервале частот 
равно объему сферического слоя (т.к. объем одной ячейки, соответствует, одному колебанию равен единице):
, (V = l3 – объем кристалла)
Полное число колебаний:
, где 
.
(так как поперечных колебаний два). Таким образом:
– найдем из условия нормировки:
,
где 
– постоянная решетки 
.
Подставляя в выражение для энергии, получаем:
Если ввести температуру Дебая
,
то выражение для энергии можно переписать в виде:
.
Введем функцию Дебая
(рис. 3).
Тогда выражение для энергии перепишется в окончательном виде:
.
Предельные случаи:
-
, следовательно, верхний предел в интеграле 
– мал. Тогда подынтегральную функцию можно разложить в ряд:
.
Тогда 
и, следовательно 
– классический закон Дюлонга-Пти.
-
(низкотемпературный предел). В этом случае верхний предел интегрирования можно заменить на 
.
интеграл равен 
(см. ниже). Тогда:
.
