Распределения Бозе и Ферми

11 12 13 14 15 16 17

Воспользуемся БКР, записав его в виде:

- вероятность того, что система содержит частиц и находится в –м квантовом состоянии.

Вектор - обозначает квантовое состояние, - его энергия, - число частиц в этом состоянии.

Подставляя эти выражения, находим:

Каждый из множителей представляет собой вероятность того, что в данном кантовом состоянии находится частиц.

Из условия нормировки находим .

Среднее число частиц в –м квантовом состоянии:

={с учетом }= .

Для фермионов: , следовательно .

Для бозонов: .

Итак, квантовые статистики имеют вид:

(Знак плюс соответствует фермионам, минус - бозонам).

Должно выполняется очевидное равенство:

Переходя к непрерывному распределению состояний, получаем

где – число частиц в одном квантовом состоянии, соответствующем энергии , - число состояний в интервале энергий . Найдем его. Из квантовой механики известно, что энергия свободной частицы в кубе со стороной, равна

, .

(решая уравнение Шредингера с условием ), - целые положительные числа.

Рассмотрим пространство этих чисел. Каждое состояние описывается точкой с численными координатами, причем состояния и, например, зависимы. Поэтому имеет смысл рассматривать только положительные . Обозначим - радиус. Очевидно

Число состояний с энергиями в интервале равно -объема шарового слоя (т.к. объем одной ячейки равен единице):

Однако полное число состояний будет еще в раз больше (что соответствует проекции спина):

NB Для двумерного случая

Для одномерного случая :

Возвращаясь к трехмерному случаю, пишем:

, (*)

где – концентрация.

Задачи

42. Получить статистики Бозе и Ферми из канонического распределения.

Решение: Рассмотрим состояние, описываемое полным набором квантовых чисел со значением энергии . Если состояние заселено невзаимодействующими частицами, то его энергия . Тогда

Согласно формуле

Подставляя, находим:

График распределения при различных имеет вид: (Ферми), представленный на рис.5. - энергия Ферми, которую можно получить следующим образом: При все электронов находятся внутри сферы в пространстве импульсов (наинизшее энергетическое состояние). Так как каждым двум состояниям (спины вверх и вниз) соответствует в фазовом пространстве ячейка размером , то

Т.к. , то

NB Величина называется активностью (рис. 6)

1) Если () то распределение переходит в распределение Максвелла (Говорят, что газ в этом случае невырожден, чему соответствует ).

2) Если (), то газ называется слабовырожденным ().

3) Если ( >> 1), то газ будет сильновырожденным ()

43. Найти температурную зависимость химического потенциала при слабом вырождении

Решение: Перепишем (*) в виде ()

В нулевом приближении получаем распределение Максвелла:

Газ становится вырожденным, когда . Отсюда .

Если то газ подчиняется классической статистике, если – квантовой.

44. Найти температурную зависимость химического потенциала сильно вырожденного газа.

Решение: Сильновырожденным может быть только Ферми – газ, т.к. для Бозе – газов , а в нашем случае ()

При будет иметь резкий максимум при . При .

Преобразуем интеграл выражения (*):

. При получаем .

Т.к. (для ), то (что совпадает с ранее полученными выражениями).

Итак

Введем новую переменную , тогда:

Рассмотрим этот интеграл отдельно, функция быстро спадает и можно разложить в ряд вблизи :

Т.к. функция - четная, то интегрирование ее со вторым слагаемым, дает нуль.

Остается

В скобке можно положить . Следовательно

45. Рассмотреть Бозе – конденсацию.

Решение: Для трехмерного Бозе – газа (см. ниже) справедливо соотношение:

(, в противном случае для ) (при уменьшении должно уменьшаться по абсолютной величине). Таким образом, имеется два параметра , подбирая которые можно оставлять интеграл неизменным. При некоторой температуре обращается в нуль (), и изменяя далее мы изменяем . На самом деле никакого противоречия здесь нет, т.к. – концентрация частиц с (множитель не учитывает частицы на самом нижнем энергетическом уровне). Следовательно, при понижении частицы начинают скапливаться на уровне . Определим температуру, при которой :

При и число частиц с :

Число частиц на нижнем уровне

46. Найти внутреннюю энергию и давление Ферми и Бозе - газов.

Решение: Найдем большую статистическую сумму для Ферми или бозе - газа, воспользуемся ее мультипликативностью для различных квантовых состояний :

(см. Ферми и Бозе - газы). Взяв эту сумму для Ферми и Бозе газа (это делалось ранее), находим

где верхние знаки соответствуют бозонам, а нижние – фермионам. Перейдем от суммирования по состояниям к интегрированию по :

Т.к. , то

47. Доказать, что двумерный и одномерный Бозе-газы не обладают свойством конденсации.

Решение:

для трехмерных газов в одно- и двумерном случае будут иметь вид (ранее были найдены и ).

Очевидно, что одномерный Бозе - газ вообще не может существовать, т.к. и интеграл расходится. Что же касается двумерного газа, то ввиду того, что , интеграл учитывает также частицы с и это состояние невозможно отделить от остальных. Кроме того, при конечных температурах теперь т.к. ввиду постоянства интеграла, он должен быть неизменным. Однако очевидно, что он зависит от и, следовательно, должен быть еще один изменяющийся параметр .

48. Найти энергию Бозе-газа в области конденсации ().

Решение: В задаче 5 было указано на то, что для Бозе-газов при :

Следовательно .

49. Найти внутреннюю энергию и давление сильно вырожденного Ферми-газа.

Решение: Как было указано ранее (см. зад. 5 и 7):

Т.к. имеет резкий максимум вблизи нуля, то последний интеграл равен .

Интеграл равен нулю, поэтому остается:

(интегралы были написаны ранее)

Учтем ранее полученную зависимость от (см. зад. 3): .

Следовательно , и

Давление .

В частности, при

Фотонный газ. Формула Планка. Черное излучение.

Равновесное число фотонов в замкнутой полости определяется из условия:

Кроме того, фотоны подчиняются статистике Бозе. Следовательно, распределение по числу частиц для них имеет вид

Для определения числа колебаний в заданном интервале частот достаточно взять аналогию с колебаниями в твердом теле (фононами), заменив на скорость света в вакууме и учитывая, что (волна поперечная, следовательно, имеется два направления поляризации электромагнитной волны). Тогда (см. теория теплоемкости тв. тела Дебая):

Тогда равновесное число фотонов в интервале частот

(среднее число частиц в состоянии х число состояний)

Полное число равновесных фотонов

Энергия, соответствующая интервалу частот

- формула Планка.

Максимум спектральной плотности при заданной температуре получается при

(закон смещения Вина).

Предельные случаи

(закон Рэлея - Джинса).
(закон излучения Вина).

Полная энергия черного излучения

Теплоемкость фотонного газа:

Найдем давление. Из формулы для бозонов .

следует .

Отсюда:

(откуда следует, что изобара и изотерма для фотонного газа суть одно и тоже)

т.е. ,

где - плотность энергии.

Энтропия

Следовательно, уравнение адиабаты фотонного газа .

50. В предположении, что солнце излучает подобно абсолютно черному телу с температурой и радиусом , найти мощность излучения с частотой и шириной .