2015-10-13
100116
Если к АРГУМЕНТУ функции добавляется константа, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси 
. Рассмотрим функцию 
и положительное число 
:
Правила:
1) чтобы построить график функции 
, нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц влево;
2) чтобы построить график функции 
, нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц вправо.
Пример 6
Построить график функции 
Берём параболу 
и сдвигаем её вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо:
«Опознавательным маячком» служит значение 
, именно здесь находится вершина параболы .
Теперь, думаю, ни у кого не возникнет трудностей с построением графика 
(демонстрационный пример начала урока) – кубическую параболу 
нужно сдвинуть на 2 единицы влево.
Вот ещё один характерный случай:
Пример 7
Построить график функции 
Гиперболу 
(чёрный цвет) сдвинем вдоль оси на 2 единицы влево:
Перемещение гиперболы «выдаёт» значение, которое не входит в область определения функции. В данном примере 
, и уравнение прямой 
задаёт вертикальную асимптоту (красный пунктир) графика функции (красная сплошная линия). Таким образом, при параллельном переносе асимптота графика тоже сдвигается (что очевидно).
Вернёмся к тригонометрическим функциям:
Пример 8
Построить график функции 
График синуса 
(чёрный цвет) сдвинем вдоль оси вдоль оси на 
влево:
Внимательно присмотримся к полученному красному графику 
…. Это в точности график косинуса 
! По сути, мы получили геометрическую иллюстрацию формулы приведения 
, и перед вами, пожалуй, самая «знаменитая» формула, связывающая данные тригонометрические функции. График функции получается путём сдвига синусоиды вдоль оси на единиц влево (о чём уже говорилось на уроке Графики и свойства элементарных функций). Аналогично можно убедиться в справедливости любой другой формулы приведения.
Рассмотрим композиционное правило, когда аргумент представляет собой линейную функцию: 
, при этом параметр «ка» не равен нулю или единице, параметр «бэ» – не равен нулю. Как построить график такой функции? Из школьного курса мы знаем, что, что умножение имеет приоритет перед сложением, поэтому, казалось бы, сначала график сжимаем/растягиваем/отображаем в зависимости от значения 
, а потом сдвигаем на единиц. Но здесь есть подводный камень, и корректный алгоритм таков:
Аргумент функции необходимо представить в виде 
и последовательно выполнить следующие преобразования:
1) График функции сжимаем (или растягиваем) к оси (от оси) ординат: 
(если 
, то график дополнительно следует отобразить симметрично относительно оси 
).
2) График полученной функции сдвигаем влево (или вправо) вдоль оси абсцисс на 
(!!!) единиц, в результате чего будет построен искомый график 
.
Пример 9
Построить график функции 
Представим функцию в виде 
и выполним следующие преобразования: синусоиду 
(чёрный цвет):
1) сожмём к оси в два раза: 
(синий цвет);
2) сдвинем вдоль оси на
(!!!) влево: (красный цвет):
Пример вроде бы несложный, а пролететь с параллельным переносом легче лёгкого. График сдвигается на , а вовсе не на .
Продолжаем расправляться с функциями начала урока:
Пример 10
Построить график функции 
Представим функцию в виде 
. В данном случае: 
Построение проведём в три шага. График натурального логарифма 
:
1) сожмём к оси в 2 раза: 
;
2) отобразим симметрично относительно оси : 
;
3) сдвинем вдоль оси на
(!!!) вправо: 
:
Для самоконтроля в итоговую функцию можно подставить пару значений «икс», например, 
и свериться с полученным графиком.
В рассмотренных параграфах события происходили «горизонтально» – гармонь играет, ноги пляшут влево/вправо. Но похожие преобразования происходят и в «вертикальном» направлении – вдоль оси . Принципиальное отличие состоит в том, что связаны они не с АРГУМЕНТОМ, а с САМОЙ ФУНКЦИЕЙ.
Растяжение (сжатие) графика ВДОЛЬ оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси абсцисс
Структура второй части статьи будет очень похожа.
1) Если ФУНКЦИЯ умножается на число 
, то происходит растяжение её графика вдоль оси ординат.
Правило: чтобы построить график функции 
, где , нужно график функции растянуть вдоль оси в 
раз.
2) Если ФУНКЦИЯ умножается на число 
, то происходит сжатие её графика вдоль оси ординат.
Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции сжать вдоль оси в 
раз.
Догадайтесь, какую функцию я буду снова пытать =)
Пример 11
Построить графики функций 
.
Берём синусоиду за макушку/пятки:
И вытягиваем её вдоль оси в 2 раза:
Период функции 
не изменился и составляет 
, а вот значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза, что логично – ведь функция умножается на 2, и область её значений удваивается: 
.
Теперь сожмём синусоиду вдоль оси в 2 раза:
Аналогично, период не изменился, но область значений функции «сплющилась» в два раза: 
.
Нет, у меня нет какого-то пристрастного отношения к синусоиде, просто я хотел продемонстрировать, чем отличаются графики функций 
(Примеры №№1,3) от только что построенных собратьев . Постарайтесь ещё раз проанализировать и качественнее понять эти элементарные случаи. Даже минимальные знания о преобразованиях графиков окажут вам неоценимую помощь в ходе решения других задач высшей математики!
И, конечно же, классический пример растяжения/сжатия параболы:
Пример 12
Построить графики функций 
.
Возьмём рога молодого оленя 
и вытянем их вверх вдоль оси в два раза: 
. Затем сожмём вдоль оси ординат в 2 раза: 
И снова заметьте, что значения функции увеличиваются в 2 раза, а значения 
уменьшаются во столько же раз (исключение составляет точка 
).
Отпустим в тундру удивлённое животное и продолжим изучать умножение функции на число: . Случаи 
не представляют интереса, поэтому рассмотрим отрицательные коэффициенты. Сначала распространённый частный случай 
:
Если ФУНКЦИЯ меняет знакна противоположный, то её график отображается симметрично относительно оси абсцисс.
Правило: чтобы построить график функции 
, нужно график отобразить симметрично относительно оси .
Пример 13
Построить график функции 
Отобразим синусоиду симметрично относительно оси :
Ещё более наглядно симметрия просматривается у следующей типовой функции:
Пример 14
Построить график функции 
График функции получается путём симметричного отображения графика 
относительно оси абсцисс:
Функции 
задают две ветви параболы, которая «лежит на боку». Обратная функция 
задаёт параболу целиком. С подобными графиками часто приходится иметь дело при нахождении площадей фигур, построении областей интегрирования двойных интегралов и в некоторых других задачах.
При умножении функции на отрицательное число , 
, построение графика следует выполнить в два этапа: сжатие (или растяжение) вдоль оси ординат, а потом – симметричное отображение относительно оси абсцисс. Конкретные примеры увидим в следующем топике.
