Графики элементарных функций

Основными элементарными функциями считаются: степенная функция , показательная функция (, ), логарифмическая функция (, ), тригонометрические функции , , , , обратные тригонометрические функции , , , .

Элементарной называется функция, полученная из основных элементарных функций конечным числом их арифметических операций и композиций. Функции , , , называются, соответственно, гиперболическими: синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом.

Если задан график функции , , то построение графика функции сводится к ряду преобразований (сдвиг, сжатие или растяжение, отображение) графика :

1) преобразование симметрично отображает график , относительно оси ; 2) преобразование симметрично отображает график , относительно оси ; 3) преобразование сдвигает график по оси на единиц ( - вправо, - влево); 4) преобразование сдвигает график по оси на единиц ( - вверх, - вниз); 5) преобразование график вдоль оси растягивает в раз, если или сжимает в раз, если ; 6) преобразование график вдоль оси сжимает в раз, если или растягивает в раз, если .

Последовательность преобразований при построении графика функции можно представить символически в виде:

.

Примечание. При выполнении преобразования следует иметь в виду, что величина сдвига вдоль оси определяется той константой, которая прибавляется непосредственно к аргументу , а не к аргументу .

Графиком функции является парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены вверх, если или вниз, если . Графиком дробно-линейной функции является гипербола с центром в точке , асимптоты которой проходят через центр, параллельно осям координат.

В некоторых случаях при построении графика функции целесообразно разбить её область определения на несколько непересекающихся промежутков и последовательно строить график на каждом из них. Например, при построении графика функции, в аналитическое выражение которой входит функция , следует выделить и рассмотреть отдельно промежутки, на которых выражение под знаком модуля не меняет знак.

График функции можно построить, предварительно построив графики функций и , а затем сложив их ординаты при одинаковых значениях .

В задачах 4.55-4.59 построить графики элементарных функций:

4.55 a) ; б) ; в) ; г) .

4.56 a) ; б) ;

в)

4.57 а) ; б) ;

в)

4.58 а) ; б) ; в) .

4.59 а) ; б) ; в) .

4.60 Построить графики следующих элементарных функций, используя правило построения графика функции по графику :

а) , , , , ;

б) , , , ,

;

в) , , , ,

.

г) , , , ,

.

В задачах 4.61-4.64 построить графики дробно-линейных функций:

4.61 . 4.62 .

4.63 . 4.64 .

В задачах 4.65-4.81 построить графики следующих функций:

4.65 . 4.66 . 4.67 .

4.68 4.69 . 4.70 .

4.71 . 4.72 . 4.73 .

4.74 4.75 4.76 .

4.77 4.78 4.79

4.80 4.81

В задачах 4.82-4.84 с помощью графического сложения построить графики следующих функций:

4.82 . 4.83 .

4.84