Примеры решения задач

1. Координата материальной точки меняется по закону: Найти перемещение, путь и среднюю скорость движения материальной точки за время t = 2 c после начала движения. Построить график зависимости координаты от времени. A = 1 м; ω = π рад/с.

Решение:

График зависимости координаты от времени t имеет вид:

Рис. 1

Величина перемещения материальной точки вдоль оси равна:

где — координата точки в начальный момент времени , а — в момент времени t = 2 c. Отсюда находим величину перемещения:

Траекторией движения точки является отрезок прямой от –1 м до +1 м. Этот отрезок точка, как видно из графика (рис. 1), за время t = 2 c проходит дважды. Следовательно, путь равен:

Средняя скорость движения по определению равна:

Здесь Δ S = S Δ t = t.

Поэтому:

Ответ:

2. Камень брошен горизонтально с начальной скоростью относительно поверхности земли. Найти уравнение траектории движения камня и радиус кривизны траектории в момент времени t.

Решение:

Движение камня рассматриваем в системе отсчета, связанной с землей. Вдоль оси камень по условию задачи движется равномерно со скоростью . Поэтому координата меняется по закону:

(1)

Вдоль оси камень падает с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения g. Поэтому скорость камня вдоль оси равна gt, а координата меняется по закону:

(2)

Рис. 2

Из уравнения (1) получаем: .

Подставив формулу (2), получим уравнение траектории движения камня:

Радиус кривизны R траектории находим из определения нормального ускорения:

где — полная скорость камня, равная

Отсюда получаем радиус кривизны траектории:

. (3)

Нормальное ускорение направлено к центру кривизны траектории перпендикулярно вектору полной скорости камня. С другой стороны, нормальное ускорение является составляющей полного ускорения, которое в данной задаче равно g. Из рис. 2 следует, что

, а . (4)

Поэтому .

Подставив (4) в (3), получаем:

или

Ответ: , .

2. Пушка стреляет под углом к горизонту. Начальная скорость снаряда равна . Найти максимальную высоту и дальность полета снаряда. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение

Разложим вектор скорости на составляющие вдоль осей координат и (см. рис. 3): (1)

Рис.3

Движение снаряда вдоль оси является равнопеременным, поэтому:

, (2)

(3)

Снаряд поднимается вверх, пока вертикальная составляющая его скорости не станет равна нулю. Из уравнения (3) находим время подъема:

(4)

Подставив (4) в (2), находим максимальную высоту подъема :

(5)

Снаряд, достигнув максимальной высоты подъема, опускается с ускорением свободного падения. Очевидно, что в этом случае:

где — время падения снаряда.

Учитывая (4) и (5), получаем, что время падения снаряда равно времени его подъема. Полное время полета снаряда равно:

(6)

За это время снаряд пролетит по горизонтали расстояние:

. (7)

Подставив (1) в формулы (5), (6), (7), находим высоту и дальность полета снаряда:

Ответ:

4. Вал токарного станка за 2 с приобретает угловую скорость ω = 628 рад/с. Считая вращение тела равноускоренным, найти угловое ускорение и число оборотов вала за это время.

Решение:

Дано:

При равнопеременном вращении угол поворота тела и его угловая скорость меняются по закону:

Из последнего соотношения: находим угловое ускорение:

314 (рад/с²).

Угол поворота тела:

628 (рад).

Число оборотов тела:

100 (оборотов).

Ответ:

6. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол θ. Зависимость пройденного телом пути от времени дается формулой , где — константа. Определить коэффициент трения тела о плоскость.

Решение:

При движении тела на него действуют три силы: сила тяжести , сила реакции опоры и сила трения .

Рис. 4

Запишем основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона) в виде:

Выберем ось вдоль направления скорости тела, ось — перпендикулярно ей, и спроецируем полученное уравнение динамики на эти оси:

Включим в эту систему уравнений закон трения скольжения

и формулу определения ускорения:

В результате получим:

Решая эту систему, получаем:

Ответ:

5. Определить силу натяжения троса лебедки, поднимающей груз массой m с ускорением .

Решение:

Расставим на рисунке силы, действующие на груз. Эти силы — сила тяжести и сила натяжения троса . Запишем основное уравнение динамики в векторном виде: