Первообразная. Неопределённый интеграл

Первообразная. Непрерывная функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на промежутке X, если для каждого

F’ (x) = f (x).

П р и м е р. Функция F (x) = x ³ является первообразной для функции

f (x) = 3 x ² на интервале (- , + ), так как

F’ (x) = (x ³) ’ = 3 x ² = f (x) для всех x (- , + ). Легко проверить, что функция x ³ + 13 имеет ту же производную 3 x ², поэтому x ³ + 13 также является первообразной для функции 3 x ² для всех x (- , + ). Ясно, что вместо 13 можно взять любую постоянную.

Таким образом, задача нахождения первообразной имеет бесчисленное множество решений. Этот факт нашёл отражение в определении неопределённого интеграла.

Неопределённый интеграл функции f (x) на промежутке X есть множество всех её первообразных. Это записывается в виде:

где C – любая постоянная, называемая постоянной интегрирования.