Методика и примеры решения задач

Для решения задач кинематики нужно знать закон движения точки,, который или задают явно в условии задачи, или можно определить из известного движения механизма, одному из звеньев которого принадлежит рассматриваемая точка.

Кинематические характеристики движения точки (скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорение и др.) определяются по вышеприведенным для каждого из способов задания формулам.

При задании движения точки координатным способом её касательное и нормальное ускорения находят после вычисления скорости и ускорения a. При этом, взяв производную по времени от найденного выражения скорости , определяют касательное ускорение . Нормальное ускорение находят из зависимости . Радиус кривизны траектории определяют из формулы .

Если движение задано естественным способом, а уравнение движения точки по траектории не задано, но известен характер движения точки, то для составления уравнения движения применяют формулы кинематических зависимостей, приведенные в таблице 1.

Пример 1

Найти траекторию точки шатуна механизма (рис. 5) кривошипного шатуна, если длина кривошипа, длина шатуна, расстояние, угол наклона кривошипа к горизонтали изменяется по закону советов. Найти также скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки в момент времени сек.

Рисунок 5

Решение

В данной задаче закон движения точки непосредственно не задан, потому в первую очередь установим уравнение движения точки в координатной форме.

Для этого проведем оси координат х и у, поместив их начало в точке и определим координаты точки как функции угла . Из рисунка 5 видно, что

;

.

Или с учетом зависимости угла от времени:

Для определения уравнения траектории точки исключим время из уравнения движения

Применив известную зависимость , возведем обе части этих равенств в квадрат и сложим их:

.

Следовательно, траекторией точки будет эллипс с центром в точке О, полуоси которого равны 25 см и 15 см. Построим траекторию в выбранном масштабе и покажем на ней положение точки в заданный момент времени, когда ее координаты будут

(рис. 6).

Проекции вектора скорости на оси координат

и модуль скорости в любой момент времени:

.

Направление вектора в любой момент времени определяется направляющими косинусами:

Ускорение точки найдем через его проекции на оси координат согласно с формулами (93) и (94):

Рисунок 6

Модуль вектора ускорения

а направляющие конусы вектора ускорения:

Определим найденные величины в момент времени :

;

Касательное ускорение найдем, дифференцируя величину скорости точки:

и в момент времени имеем:

.

Найдем нормальное ускорение точки по формуле

.

Радиус кривизны траектории в данной точке М₁ в соответствии с формулой (105) равняется

.

В заданном положении точки в масштабе строим вектор с составляющими и , направляя вектор скорости по касательной к траектории (см. рис. 6). Вектор находим через составляющие и , а также через составляющие и , как показано на рис. 6. Выполнение условий построения этих векторов подтверждает правильность проведенных вычислений.

Пример 2

Точка двигается по окружности радиуса 25 м по закону ( – в метрах, – в секундах). Определить ускорение точки в тот момент времени, когда ее дуговая координата будет равняться 27 м.

Решение

Движение точки задано естественным способом. Выберем на траектории начальное положение , положительное направление движения (рис. 7) и покажем положение точки в тот момент времени, когда ее дуговая координата соответствует центральному углу . Найдем время движения точки, подставив в уравнение движения значение и : . Из квадратного уравнения, найдем:

то есть

Величина скорости и ускорения точки равняются:

.

Рисунок 7

При времени скорость . Тогда нормальное ускорение точки в этот момент времени

,

а полное ускорение точки в положении

.

Пример 3

Отходя от станции, поезд движется равноускоренно по дуге окружности радиусом . Пройдя путь , поезд получил скорость . Найти время, за какой поезд прошел это расстояние, и его полное ускорение в это время.

Решение

Рассматриваем поезд как подвижную точку, траектория которой известна. Для нахождения искомых величин воспользуемся естественным способом задания движения, выбрав начало отсчета на траектории в начальном положении поезда, когда при имеем и . Тогда равнопеременное движение поезда опишется зависимостями:

.

Решая совместно эти уравнения, находим и , откуда искомое время движения и касательное ускорение будут

.

Полное ускорение определим по формуле (106)

,

где , или при числовых значениях задачи

.

Окончательно

.

Вопросы для самоконтроля

1 Что изучает кинематика? Сформулируйте основную задачу кинематики точки.

2 Дайте определение системы отсчета, закона движения точки.

3 Что такое траектория точки, какой она может быть?

4 Назовите существующие способы задания движения точки. В чем заключается каждый из этих способов?

5 Как при координатном способе задания движения точки определяется ее траектория?

6 При каких условиях пройденный точкой путь и дуговая координата точки на траектории совпадают?

7 Запишите формулу для определения вектора скорости точки. Как направлен вектор скорости точки?

8 Запишите формулы для определения проекций скорости точки на декартовы оси координат.

9 Как по известным проекциям скорости точки найти ее модуль и направление?

10 Запишите формулу для определения вектора ускорения точки и укажите направление этого вектора в пространстве. В какой плоскости лежит вектор ускорения точки?

11 Как определяется алгебраическая скорость точки по известному естественному уравнению движения точки? Приведите формулу для ее определения и укажите ее направление.

12 Как определяется ускорение точки при координатном способе задания движения?

13 Охарактеризуйте естественные оси координат? Как они направлены?

14 В какой плоскости размещается вектор ускорения по отношению к осям естественного трехгранника, куда он направлен?

15 Чему равняются проекции ускорения точки на касательную ось и главную нормаль к траектории?

16 В каких случаях касательное ускорение точки равняется нулю? Нормальное ускорение точки равняется нулю?

17 Какое движение точки называется равномерным, равнопеременным?