Аппроксимация экспериментальных данных

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ. 2

1.1. Аппроксимация экспериментальных данных. 2

1.2. Нахождение экстремального значения функции. 7

2. Модели линейной оптимизации в MS Excel 11

2.1 Исследование операций. 11

2.2. Задачи линейного программирования. 13

2.3 Решение задач линейного программирования в MS Excel 14

2.4 Задача о планировании производства. 19

2.5 Двойственная задача. 23

3. ОРГАНИЗАЦИЯ СНАБЖЕНИЯ И УПРАВЛЕНИЕ ТРУДОВЫМИ РЕСУРСАМИ 25

3.1. Транспортная задача. 26

3.2 Несбалансированные транспортные задачи. 29

3.3. Задача о назначениях. 37

4 Задачи нелинейной оптимизации. 43

АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

В практике экономических исследований не всегда удается воспользоваться аналитическими зависимостями для анализа данных. Как правило, экономические данные представляются в табличном виде. Поэтому одной из наиболее распространенных задач является задача аналитического описания экспериментальных зависимостей, при решении которой используются процедуры оптимизации.

Аппроксимация экспериментальных данных

Аппроксимацией называется подбор аналитической формулы y=f(x) для установленной из опыта функциональной зависимости y=φ(x)

Аппроксимируемая функция у может зависеть от одной или от нескольких переменных. Рассмотрим оба случая.

Одна независимая переменная. В простейшем случае задача аппроксимации для функции одной переменной выглядит следующим образом.

Пусть имеются данные, полученные в ходе эксперимента или наблюдений, которые можно представить в виде таблицы значений (х, у).

x	x1	x2	...	xn
y	y1	y2	...	yn

На основе этих данных требуется подобрать такую фун­кцию у= f(x), которая с точки зрения некоторого критерия оптимальности наилучшим образом описывала бы экспериментальную зависимость.

Обычно задача аппроксимации распадается на две части. Сначала устанавливают вид зависимости у = f(x) и, соответственно, вид эмпирической формулы, то есть решают, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой. После этого определяются численные значения неизвестных параметров выбранной эмпирической формулы, для которых приближение к заданной функции оказывается наилучшим.

Для сглаживания экспериментальных зависимостей y_i=φ(x_i), заданных таблично, в MS Excel используются различные функции у=f(x).

■ Линейная.

■ Полиномиальная.

■ Логарифмическая.

■ Степенная.

■ Экспоненциальная.

Параметры аппроксимирующей функции подбираются так, чтобы выполнялось условие минимума среднеквадратичных отклонений (критерий оптимальности):

(1.1)

где y_i = φ(х_i) - экспериментальные точки (i = 1... n).

Степень точности аппроксимации экспериментальных данных в MS Excel оценивается коэффициентом детерминации (R²). Чем ближе этот коэффициент к значению 1, тем точнее приближение. Рассмотрим процедуру аппроксимации на примере.

Пример 1.1.

Построить и исследовать динамику роста производства продукции, используя данные:

год	производство
	17,1
	18,9
	19,7
	19,8
	19,9

Решение.

1. На основе имеющейся таблицы строим Точечную диаграмму.

Наводим курсор на одну из точек полученного графика и из контекстного меню выбираем команду: Добавить линию тренда (рис. 1.1)

Рис. 1.1

2. На вкладке Тип указываем тип Логарифмическая (рис. 1.2)

Рис 1.2

3. На вкладке Параметры выставляем флажки для уравнения и достоверность аппроксимации (рис. 1.3).

Рис. 1.3

В итоге мы получим аппроксимацию эксперименталь­ных данных в виде кривой, показанной на рис. 1.4.

Рис. 1.4

Как видно из рисунка, результат аппроксимации не является удовлетворительным. Для того, чтобы убедиться в правильности выбора типа аппроксимирующей функции, следует выбрать несколько разных функций для аппроксимации (трендов) и сравнить значения величин достовер­ности для каждого варианта тренда (наилучшей считается функция с коэффициентом детерминации R², близким к 1).

Щелчок правой кнопки мыши на линии тренда дает возможность редактировать его, подбирая другие функции для аппроксимации. Наилучшей в данном примере является полиномиальная функция, которая дает показатель достоверности R²=0,9917, тогда как для логарифмической функции этот показатель равен 0,867 (рис. 1.5).

Рис. 1.5

Полученная аналитическая зависимость позволяет вы­числять значения функции в дополнительных точках. Для этого в ячейку листа MS Excel можно занести полученную в результате аппроксимации формулу со ссылкой на ячейку с независимой переменной.

Упражнения

Упр. 1.1. Построить функцию, отражающую зависимость дефицита бюджета от времени в России и США.

Страна
Россия	2,9	2,3	3,1	2,2	2,0	2,7	6,5	8,0	9,1
США	2,8	2,6	4,1	6,3	5,0	5,4	5,3	3,4	3,2

Упр. 1.2. Вложенные в производства средства дают прибыль:

Средства
Прибыль

Определить зависимость прибыли от вложенных средств и вычислить прибыль для вложений, равных 10000 руб.