Примеры решения типовых задач

Пример 1. Исследовать функцию на экстремум и монотонность.

Решение. Область определения – множество всех действительных чисел .

1)Находим производную функции:

2)Найдем стационарные и критические точки. Решим уравнение : - стационарная. не существует при или . Эти точки входят в область определения функции, следовательно, являются критическими.

3) Разобьем область определения точками 0, 2, 4 на интервалы , , , , в каждом из которых производная сохраняет знак. Найдем знаки производной в этих интервалах (см. рис.4)

4) Функция убывает в интервалах и , возрастает в интервалах и . Однако можно сделать более сильный вывод. В самом деле, в окрестностях критических точек и производная не меняет знака, значит, они не являются точками экстремума. Функция убывает в интервале и возрастает в интервале .

5) Стационарная точка является точкой минимума. Тогда .

7.Наибольшее и наименьшее значения функции
на числовом промежутке

Пусть функция определена на отрезке . Если непрерывна на этом отрезке, то существуют точки и , в которых функция достигает своего максимального и минимального значений (на отрезке!). Этими точками могут быть либо внутренние критические точки (из ), либо граничные. Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на числовом отрезке придерживаются следующего алгоритма.

1) Найти первую производную .

2) Найти стационарные и критические точки функции и выбрать те из них, которые попадают в отрезок .

3) Сравнить значения функции в найденных точках и на границах (т.е. в точках , ), выбрать наибольшее и наименьшее значения. Характер экстремума определять не нужно.

Пусть функции определена в интервале . В этом случае не гарантируется существование наибольшего и наименьшего значений у функций. После определения стационарных и критических точек и значений функции в них, необходимо изучить поведение функции при и . Сравнивая полученные значения, получают наибольшее или наименьшее значения функции или обосновывается факт отсутствия таких значений.

В случае бесконечных промежутков , , и др. схема исследований аналогична. Наибольшее и наименьшее значения функции на числовом промежутке называют глобальными экстремумами функции.