Асимптоты графика функции

Определение. Прямая называется асимптотой кривой , если расстояние от точки кривой до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат (т.е. стремление хотя бы одной из координат точки к бесконечности). Пример показан на рис. 7 а.

Нахождение вертикальных асимптот. Если - точка разрыва II рода функции , то прямая является вертикальной асимптотой. Например, если то точка графика при бесконечно близко приближается к вертикальной асимптоте с левой стороны (рис. 7 в, ).

Вертикальная асимптота может быть в точке, являющейся границей области определения функции, если односторонний предел в этой точке равен или (рис. 7 в).

Нахождение горизонтальных асимптот. Если (или ), то прямая является горизонтальной асимптотой при (или ).

Нахождение наклонных асимптот. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид , где угловой коэффициент . Коэффициенты и при () находят по формулам:

.

Замечание. В формулах подразумевается, что оба предела существуют и конечны. Если хотя бы один из них не существует, то наклонной асимптоты у графика функции нет.

Замечание. Если пределы конечны и , то график имеет горизонтальную асимптоту при (). Поэтому если существует горизонтальная асимптота при (), то нет наклонной асимптоты при ().