Математическое описание переноса

Математическое моделирование процессов переноса

Введение

Явления переноса в природе чрезвычайно многообразны.

Существует несколько механизмов переноса.

Конвективный – жидкость или газ движутся как единое целое. Это макроскопический перенос.

Другие виды переноса происходят на микроскопическом уровне: под действием той или иной силы некоторые частицы движутся иначе, чем другие.

Диффузия – перенос осуществляется под действием перепада концентрации. Частицы растворенного вещества движутся в одну сторону, а частицы растворителя– в противоположную.

Теплопроводност ь – теплота переносится из области с большей температурой в область с меньшей.

Колебательная энергия более «горячих» частиц передается путем соударений более «холодным» частицам.

Электропроводность – перенос осуществляется под действием градиента электрического потенциала, переносимая субстанция должна иметь электрический заряд. Положительно и отрицательно заряженные частицы движутся в противоположные стороны.

Cписок литературы:

R.B. Bird, W.C. Stewart, and E.N. Lightfoot, Transport Phenomena N.Y., John Wiley, 1960.
Лайтфут Э. Явления переноса в живых системах. М.: Мир, 1997.
Д.А. Франк-Каменецкий, Диффузия и теплопередача в химической кинетике, 3-е издание, Москва, Наука 1987, 491 ст.
V.G. Levich, Physicochemical Hydrodynamics, N.Y., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1962.
И. Пригожин, Д. Кондепуди, Современная термодинамика. М.: Мир, 2002.
Заболоцкий В.И., Никоненко В.В. Перенос ионов в мембранах. М.: Наука, 1996.

Математическое описание переноса

Существует два основных вида уравнений, на которых основывается математическое описание явлений переноса:

Собственно уравнения переноса, связывающие скорость переноса и движущую силу.

Уравнения сохранения (энергии, массы, вещества, заряда, количества движения (уравнения непрерывности). Уравнения непрерывности — (сильная) локальная форма законов сохранения.

Скорость переноса количественно определяется плотностью потока.

Плотность потока субстанции (массы, вещества, энергии, заряда и т.д.) через некоторую поверхность равняется количеству субстанции (массы, вещества, энергии, заряда и т.д.), которое проходит через единицу поверхности за единицу времени.

- плотность потока массы

- плотность потока вещества

- плотность потока энергии

- плотность потока заряда (плотность тока = А).

Плотность потока определяется произведением концентрации частиц на среднюю скорость их движения:

Уравнение переноса связывает между собой плотность потока и силу, вызывающую этот поток.

Рассмотрим закон Ома:

, где

U – напряжение, а в нашем случае термодинамическая сила, вызывающая поток.

Перепишем этот закон в дифференциальном виде:

, где – удельная электропроводность, обратно пропорциональная удельному сопротивлению

– электрическая сила, действующая на единичный электрический заряд.

Перепишем полученное дифференциальное уравнение:

(умножили обе части уравнения на площадь s)

Так как , то

Диффузионный перенос описывается законом Фика:

, где

– коэффициент диффузии

– градиент концентрации растворенного вещества; характеризует химическую силу, действующую на растворенное вещество

Явление переноса объема описывается законом Дарси:

, где

– плотность потока объема ()

– коэффициент фильтрации (гидравлической проницаемости)

– гидростатическое давление

– механическая сила

Во всех трех случаях поток субстанции пропорционален действующей на нее силе.

Уравнения сохранения

Они также называются уравнениями материального баланса или уравнениями непрерывности (неразрывности).

Найдем, как быстро изменяется количество субстанции внутри элементарного объема.

Общая схема вывода:

Рассматривается элементарный объём.

Существуют всего 2 причины изменения количества субстанции в выделенном объеме:

1. величина входящего потока не равна величине выходящего;

2. происходит генерация или распад рассматриваемой субстанции внутри объема