График функции называется выпуклым в интервале
, если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рисунок 7).
График функции называется вогнутым в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рисунок 8).
Пусть функция имеет вторую производную на интервале . Тогда, если на этом интервале, то функция выпукла, если , то график функции вогнутый на этом интервале.
Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части выпуклости и вогнутости, называется точкой перегиба (рисунок 9).
Если – точка перегиба функции , то в этой точке вторая производная функции либо равна нулю (), либо не существует.
Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками 2 –го рода. Точки перегиба следует искать среди критических точек 2- го рода.
Пусть функция имеет первую производную в точке и вторую производную в некоторой окрестности этой точки (кроме, быть может самой точки). Тогда, если при переходе через точку вторая производная меняет знак, то - точка перегиба.
Пример. Исследовать функцию на интервалы выпуклости, вогнутости, найти точки перегиба, если .
1. .
2. Решаем уравнение , т.е. . Получаем х =0.
3. Определяем знак второй производной в интервалах (-∞; 0) и (0; ∞). На интервале (-∞; 0) знак второй производной отрицательный , график функции выпуклый. На интервале (0; ∞) - график функции вогнутый.
4. меняет знак в точке х =0, следовательно, точка (0;5) – точка перегиба.