График функции называется выпуклым в интервале
, если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рисунок 7).
График функции называется вогнутым в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рисунок 8).
Пусть функция 
имеет вторую производную на интервале . Тогда, если 
на этом интервале, то функция выпукла, если 
, то график функции вогнутый на этом интервале.
Точка графика непрерывной функции 
, отделяющая его части выпуклости и вогнутости, называется точкой перегиба (рисунок 9).
Если 
– точка перегиба функции , то в этой точке вторая производная функции либо равна нулю (
), либо не существует.
Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками 2 –го рода. Точки перегиба следует искать среди критических точек 2- го рода.
Пусть функция имеет первую производную в точке и вторую производную в некоторой окрестности этой точки (кроме, быть может самой точки). Тогда, если при переходе через точку вторая производная меняет знак, то - точка перегиба.
Пример. Исследовать функцию на интервалы выпуклости, вогнутости, найти точки перегиба, если 
.
1. 
.
2. Решаем уравнение 
, т.е. 
. Получаем х =0.
3. Определяем знак второй производной в интервалах (-∞; 0) и (0; ∞). На интервале (-∞; 0) знак второй производной отрицательный 
, график функции выпуклый. На интервале (0; ∞) 
- график функции вогнутый.
4. 
меняет знак в точке х =0, следовательно, точка (0;5) – точка перегиба.
2015-10-22
432
