Краткие сведения из теории и примеры решения задач

Функция называется возрастающей в интервале , если для любых двух точек и из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , если , функция называется неубывающей.

Иными словами – значения возрастающей функции увеличиваются одновременно со значением аргумента.

Функция называется убывающей в интервале , если для любых двух точек и из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , если , функция называется невозрастающей.

Признаки монотонности функции:

- если функция дифференцируема на интервале и во всех точках интервала, то функция возрастает на этом интервале;

- если функция дифференцируема на интервале и во всех точках интервала, то функция убывает на этом интервале.

Пример. Исследовать функцию на возрастание, убывание.

на интервалах , следовательно, на этом промежутке функция возрастает (знак производной «+»).

на интервале (-1;1), следовательно, функция здесь убывает (знак производной «–»).

Экстремумы функции.

Точка называется точкой максимума функции , если значение является наибольшим в некоторой окрестности этой точки.

Точка называется точкой минимума функции , если значение является наименьшим в некоторой окрестности этой точки.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Если - точка экстремума для функции , то в этой точке производная функции либо равна нулю , либо не существует.

Если при переходе (слева направо) через критическую точку производная меняет знак с (+) на (-), то точка является точкой максимума; если с (-) на (+), то точкой минимума; если знака не меняет, то экстремума нет.