Нахождение корня методом касательных (Ньютона)

1) Прежде всего, необходимо проверить условия сходимости метода Ньютона:

а) в интервале поиска корня первая и вторая производные сохраняют знак;

б) нулевое приближение выбрано из условия .

а) Для функции ранее был определен интервал поиска корня .

Первая производная ;

сохраняет знак, что видно и из графика функции – на выбранном отрезке она монотонно возрастает.

Вторая производная , т.е. кривая вогнута при любых , что так же видно из графика.

б) Выберем начальное приближение и проверим условие .

При ; ; .

Точка не подходит.

При ; ; .

Точка подходит.

Итак, за начальное приближение в методе Ньютона следует выбрать точку .

2) Находим значение корня в первом приближении. . Т.к. длина отрезка , то точность нахождения корня недостаточна, и потребуется второе приближение.

3) Находим значение корня во втором приближении. . Т.к. длина отрезка , то точность нахождения корня недостаточна, и потребуется третье приближение.

4) Находим значение корня в третьем приближении. . Т.к. длина отрезка , то точность нахождения корня еще недостаточна, и потребуется четвертое приближение.

5) Находим значение корня в четвертом приближении. . Т.к. длина отрезка , то с заданной точностью значение можно принять за решение уравнения.

6) Решение по компьютерной программе для метода касательных (Ньютона):

Результаты расчетов заносим в таблицу 3.1:

Таблица 3.1 Нахождение корня уравнения на отрезке

Вывод: самым быстрым для данной функции является метод Ньютона.