2015-10-22
1076
Задание.
С точностью 
найти все решения системы уравнений 
методом Ньютона. Исследовать процесс поиска решения, задаваясь разными значениями нулевого приближения 
.
Решение.
Нарисуем в системе координат XOY графики функций 
Из графиков функций видно, что система имеет два действительных решения.
4.1 Нахождение первого решения (левой точки, с меньшим значением координаты «x»). Рассмотрим 4 варианта задания нулевого проиближения в каждом из четырех возможных секторов:
и изобразим картину процесса поиска решения.
1)
Приведем последовательность расчета первого варианта «вручную».
а) Расчет первого приближения.
где приращения 
находятся из системы уравнений (5.4)
(см. раздел 5.1 теоретической части).
В нашем случае
; 
;
;
; 
;
; 
;
;
;
Решим систему линейных уравнений методом Крамера.
, 
, где
;
;
;
, 
;
.
Так как 
и 
, то точность нахождения решения системы уравнений недостаточна, и необходимо еще одно приближение.
б) Расчет второго приближения.
где 
, а приращения 
находятся из системы уравнений
В нашем случае
; 
;
;
; 
;
; 
;
;
;
Решим систему линейных уравнений методом Крамера.
, , где
;
;
;
, 
;
.
Так как 
и 
, то точность нахождения решения системы уравнений недостаточна, и необходимо еще одно приближение.
в) Расчет третьего приближения.
где 
, а приращения 
находятся из системы уравнений
В нашем случае
; 
;
;
; 
;
; 
;
;
;
Решим систему линейных уравнений методом Крамера.
, , где
;
;
;
, 
;
.
Так как 
и 
, то точность нахождения решения системы уравнений недостаточна, и формально необходимо сделать еще одно последнее приближение.
Итак, решение системы: 
.
Ниже приведены расчеты этого и всех других вариантов расчета, выполненные с помощью компьютерной программы.
2) 
3)
4) :
4.2 Нахождение второго решения (правой точки, с большим значением координаты «x»). Рассмотрим 4 варианта задания нулевого проиближения в каждом из четырех возможных секторов:
и изобразим картину процесса поиска решения.
1)
2) 
3) 
4) :
4.3 Пример задания исходных данных, когда решение методом Ньютона найти не удается. Рассмотрим следующий вариант задания нулевого проиближения:
Полученный результат – «Число приближений > 100!!!» говорит о том, что процесс поиска решения расходится.
Выводы: Метод Ньютона быстро приводит к нахождению решения системы уравнений, но он очень чувствителен к заданию нулевого приближения. В случае неудачного задания нулевого приближения процесс поиска может расходиться.
