Для метода Ньютона нужно задать начальное приближение из условия
, иначе процесс сходимости не гарантирован.
Если , то и .
Если , то и .
Следовательно, в качестве начального приближения следует выбрать точку .
1) Находим первое приближение по формуле
;
Так как , то требуется второе приближение.
2) Находим второе приближение по формуле
Так как , то требуется третье приближение.
3) Находим третье приближение по формуле
Так как , то процесс последовательных приближений можно считать законченным и значение принять за точку минимума.
Итак, ; число приближений .
Ниже приведены расчеты нахождения минимума функции методом Ньютона, выполненные с помощью компьютерной программы.
Заметим, что в случае выбора за начальное приближение точки , процесс все же сойдется, но за большее число приближений.
Результаты всех расчетов сведем в таблицу
№ | Название метода поиска | Число приближений | Точка минимума |
Метод дихотомии | (0,69; -22,04) | ||
Метод «золотого сечения» | (0,68; -22,04) | ||
Метод Ньютона | (0,69; -22,04) |
Выводы: При поиске минимума функции на отрезке
|
|
самым быстрым оказался метод Ньютона (4 приближения).
6 Лабораторная работа №6. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методами Эйлера, модифицированного метода Эйлера с пересчетом, Рунге-Кутты.
Задание.
Методами Эйлера, модифицированным методом Эйлера с пересчетом и методом Рунге-Кутты 4-го порядка найти частное решение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядкавида , с начальным условием , на интервале с шагом .
Решение.
6.1 Найдем сначала точное решение дифференциального уравнения .
Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки . Тогда и уравнение примет вид Разделяя переменные, получим
Частное решение при начальном условии :
Итак, точное решение имеет вид: .
Протабулируем полученное решение на интервале с шагом и результаты расчетов сведем в таблицу 6.1
Таблица 6.1 Результаты табулирования функции
6.2 Решение дифференциального уравнения методом Эйлера.
Итерационная формула метода Эйлера для дифференциального уравнения имеет вид: .
У нас ; ; ; .
Результаты расчетов сведены в таблицу 6.2
Номер точки n | ||||
0,0 | 1,00 | 0,0+1,00=1,00 | ||
0,1 | 1,10 | 0,1+1,10=1,20 | ||
0,2 | 1,22 | 0,2+1,22=1,42 | ||
0,3 | 1,36 | 0,3+1,36=1,66 | ||
0,4 | 1,53 | 0,4+1,53=1,93 | ||
0,5 | 1,72 |
6.3 Решение дифференциального уравнения модифицированным методом Эйлера с пересчетом.
Итерационная формула модифицированного метода Эйлера с пересчетом для дифференциального уравнения имеет вид:
|
|
, где
Результаты расчетов сведены в таблицу 6.3
№ точки n | |||||
0,0 | 1,00 | 0,0+1,00=1,00 | |||
0,1 | 1,11 | 0,1+1,11=1,21 | |||
0,2 | 1,24 | 0,2+1,24=1,44 | |||
0,3 | 1,40 | 0,3+1,40=1,70 | |||
0,4 | 1,58 | 0,4+1,58=1,98 | |||
0,5 | 1,79 |
6.4 Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты 4-го порядка.
Итерационная формула модифицированного метода Эйлера с пересчетом для дифференциального уравнения имеет вид:
где
Результаты расчетов сведены в таблицу 6.4
Номер точки n | |||||||
0,0 | 1,00 | 0+1=1 | |||||
0,1 | 1,11 | 0,1+1,11=1,21 | |||||
0,2 | 1,24 | 0,2+1,24=1,44 | |||||
0,3 | 1,40 | 0,3+1,4=1,7 | |||||
0,4 | 1,58 | 0,4+1,58=1,98 | |||||
0,5 | 1,79 |