Определение линейного преобразования

Линейные преобразования

Функциональная зависимость – одно из основных понятий математики. Мы говорим, что скалярная величина у является функцией скалярного аргумента х, если каждому значению переменной х (взятому из некоторой совокупности значений) соответствует определенное значение переменной у. Закон соответствия обычно записывают в виде , где f – символическое обозначение функции.

Понятие функциональной зависимости легко обобщается на векторные функции от скалярного аргумента. Мы говорим, что вектор у является вектор-функцией скалярной величины х, если каждому значению скалярной переменной х (взятому из некоторой совокупности значений) соответствует определенное значение переменного вектора у. Закон соответствия обычно записывают в виде , где f – символическое обозначение функции.

Распространим понятие функциональной зависимости на тот случай, когда не только функция, но и аргумент является вектором.

Если каждому вектору х n-мерного пространства (взятому из некоторой совокупности векторов) соответствует вектор у того же пространства, то такая векторная функция от векторного аргумента называется преобразованием (оператором).

Закон соответствия обычно записывают в виде , где А – символическое обозначение преобразования. Вектор называют образом вектора х.

Самым простым (и в то же время очень важным) видом преобразования являются линейные преобразования.

Определение. Преобразование А называется линейным, если оно определено для всех векторов пространства, причем для любых векторов х ₁ и х ₂ и любого скаляра a справедливы равенства

1. ,

2. .

Из этого определения следует, что линейное преобразование линейного пространства переводит любую линейную комбинацию данных векторов х ₁, х ₂, …, х _k в линейную комбинацию (с теми же коэффициентами) образов этих векторов,

Среди линейных преобразований особую роль играют следующие простые преобразования:

тождественное преобразование Е, ставящее в соответствие каждому вектору этот же самый вектор, т.е.

нулевое преобразование О, ставящее в соответствие каждому
вектору х нулевой вектор:

Примеры. 1. Рассмотрим трехмерное евклидово пространство R³ и в нем преобразование, состоящее в повороте R³ вокруг какой-либо оси, проходящей через нуль. Каждому вектору х ставится в соответствие вектор , полученный из него данным поворотом. Условия 1 и 2 легко проверяются. Проверим, например, первое условие: означает, что векторы х ₁ и х ₂сначала складываются, а затем полученный вектор поворачивается. означает, что векторы х ₁ и х ₂сперва поворачиваются, а затем складываются. Ясно, что в обоих случаях результат один и тот же.

2. Пусть R¢ – некоторая плоскость в трехмерном пространстве R³, проходящая через нуль. Поставим в соответствие каждому вектору х его проекцию на эту плоскость. Условия 1 и 2 опять легко проверяются. Например, первое условие означает, что проекция суммы равна сумме проекций.

3. Показать, что преобразование , где – действительное число, является линейным.

○ Пусть и – произвольные векторы n-мерного пространства,

– произвольное действительное число. Найдем образы векторов:

, .

Оба условия, определяющие линейное преобразование, выполнены, значит, данное преобразование является линейным. Рассмотренное преобразование А называется преобразованием подобия. ●

4. Преобразование А в линейном пространстве R определено равенством , где – фиксированный ненулевой вектор. Является ли преобразование А линейным?