Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где - угол между векторами и (рис.4).

Рис.4

Пусть заданы два вектора в координатной форме и

Скалярное произведение двух ненулевых векторов в координатной форме равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов: .

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: .

Условием перпендикулярности ненулевых векторов и является равенство нулю их скалярного произведения:

.

Векторным произведением двух векторов и называется вектор , который:

1) имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах и : ;

2) перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма;

3) направлен в такую сторону, с которой кратчайший поворот от к рассматривается совершающимся против часовой стрелки (такое расположение векторов , и называется правой тройкой векторов) (рис.5).

Рис.5

Векторное произведение ненулевых векторов вычисляется через координаты данных векторов и

следующим образом:

Равенство нулю векторного произведения двух ненулевых векторов является условием их коллинеарности, т.е. ½½ .

Смешанное произведение трех векторов , и , которое обозначается или , есть скаляр, абсолютная величина которого равна объему параллелепипеда, построенного на векторах , и , как на ребрах.

Смешанное произведение трех векторов вычисляется в координатной форме по формуле:

.

Равенство нулю смешанного произведения трех ненулевых векторов является условием их компланарности: .

Задача. Определить внутренние углы и треугольника c вершинами в точках

Решение. Внутренний угол - это угол между векторами и , который вычисляется через скалярное произведение векторов по формуле:

Координаты векторов: .

Отсюда,

Аналогично, находя предварительно , получим

Отсюда

Задача. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках и высоту (рис.6).

Решение.

Рис.6

Найдем координаты векторов Площадь треугольника вычисляется через векторное произведение векторов по формуле: .

Векторное произведение

Тогда .

С другой стороны , отсюда высота .

Так как ,

то высота .

Задача. Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках и высоту, опущенную из точки на основание (рис.7).

Решение.

Рис.7

Найдем координаты векторов : .

Объем пирамиды вычисляется через смешанное произведение векторов по формуле: .

Смешанное произведение векторов

.

Следовательно,

С другой стороны . Откуда высота пирамиды , где площадь треугольника

Векторное произведение

Тогда,

Следовательно, высота пирамиды =