2015-10-22
7810
Скалярным произведением 
двух ненулевых векторов 
и 
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: 
, где 
- угол между векторами и 
(рис.4).
Рис.4
Пусть заданы два вектора в координатной форме 
и 
Скалярное произведение двух ненулевых векторов в координатной форме равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов: 
.
Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: 
.
Условием перпендикулярности ненулевых векторов 
и 
является равенство нулю их скалярного произведения:
.
Векторным произведением двух векторов 
и 
называется вектор 
, который:
1) имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах 
и 
: 
;
2) перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма;
3) направлен в такую сторону, с которой кратчайший поворот от 
к 
рассматривается совершающимся против часовой стрелки (такое расположение векторов 
, 
и 
называется правой тройкой векторов) (рис.5).
Рис.5
Векторное произведение ненулевых векторов 
вычисляется через координаты данных векторов 
и 
следующим образом: 
Равенство нулю векторного произведения двух ненулевых векторов является условием их коллинеарности, т.е. 
½½ 
.
Смешанное произведение трех векторов 
, 
и 
, которое обозначается 
или 
, есть скаляр, абсолютная величина которого равна объему параллелепипеда, построенного на векторах 
, 
и 
, как на ребрах.
Смешанное произведение трех векторов вычисляется в координатной форме по формуле:
.
Равенство нулю смешанного произведения трех ненулевых векторов является условием их компланарности: 
.
Задача. Определить внутренние углы 
и 
треугольника 
c вершинами в точках 
Решение. Внутренний угол 
- это угол между векторами 
и 
, который вычисляется через скалярное произведение векторов по формуле: 
.
Отсюда, 
Аналогично, находя предварительно 
, получим
Отсюда 
Задача. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках 
и высоту 
(рис.6).
Решение.
Рис.6
Найдем координаты векторов 
Площадь треугольника вычисляется через векторное произведение векторов по формуле: 
.
Тогда 
.
С другой стороны 
, отсюда высота 
.
Так как 
,
то высота 
.
Задача. Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках 
и высоту, опущенную из точки 
на основание 
(рис.7).
Решение.
Рис.7
Найдем координаты векторов 
: 
.
Объем пирамиды вычисляется через смешанное произведение векторов по формуле: 
.
Смешанное произведение векторов
.
Следовательно, 
С другой стороны 
. Откуда высота пирамиды 
, где площадь треугольника 
Тогда, 
Следовательно, высота пирамиды 
= 
