Аналитическая геометрия

Уравнения плоскости

Пусть задан вектор , перпендикулярный к плоскости (вектор нормали) и точка - произвольная фиксированная точка плоскости. Возьмем на плоскости произвольную нефиксированную точку - (текущая точка) (рис.8).

Рис.8

Вектор , лежащий в плоскости , перпендикулярен вектору нормали , значит их скалярное произведение , следовательно

Полученное уравнение – уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору .

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярно вектору , если , (рис.9).

Решение. Пусть - текущая точка искомой плоскости . Найдем координаты векторов

.

Вектор принадлежит плоскости и перпендикулярен вектору , значит их скалярное произведение

- уравнение плоскости .

Рис.9

Рассмотрим плоскость, проходящую через три точки, не лежащие на одной прямой: - (рис.10). Точка - текущая точка плоскости.

Рис.10

Три вектора:

,

лежат в одной плоскости, значит компланарны, и их смешанное произведение равно нулю:

Запишем смешанное произведение в координатной форме, получим:

- уравнение плоскости, проходящей

через три точки.

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки

(рис.11).

Рис.11

Решение. Пусть точка - текущая точка плоскости. Найдем координаты трех компланарных векторов: , , .

Смешанное произведение векторов равно нулю:

- уравнение плоскости .

Пусть плоскость задана общим уравнением .

Расстояние от точки до плоскости (рис12) вычисляют по формуле .

Рис.12

Пример. Найти расстояние от точки до плоскости .

Решение. Воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости, получим:

.

Угол между плоскостями равен углу между их векторами нормалей (рис.13).

Пусть даны две плоскости:

плоскость с нормалью

плоскость с нормалью

Рис.13

Косинус угла между плоскостями вычисляется по формуле:

Пример. Найти угол между плоскостями

;

.

Решение. Векторы нормалей имеют координаты:

Отсюда,