Матрицы и действия с матрицами

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел

имеющая строк и столбцов.

Элементы матрицы снабжаются двумя индексами, первый из которых обозначает номер строки, второй - номер столбца, на пересечении которых стоит элемент . Если матрица имеет строк и столбцов, то матрицу называют квадратной.

Матрицы одинакового размера можно складывать. При этом суммой матриц и называют матрицу , для которой .

Например,

Произведением матрицы на число называют матрицу , каждый элемент которой . Например,

Задача. Даны матрицы и :

; .

Найти матрицы: a) , б) .

Решение. а) ; ;

;

б) ; ;

Произведением матрицы размером на матрицу размером называют матрицу размером , каждый элемент которой , где ; .

То есть элемент –ой строки и –го столбца матрицы произведения равен сумме произведений элементов –ой строки матрицы на соответствующие элементы –го столбца матрицы .

Если определено произведение , то это не значит, что определено произведение . Это произведение может не иметь смысла. Если выполняется , то матрицы называются перестановочными, или коммутирующими. Отметим сразу же, что обычно .

Задача. Даны матрицы и :

; .Найти матрицу .

Решение.

= =

Обратные матрицы

Квадратная матрица называется обратимой, если существует матрица такая, что . Эту матрицу называют обратной к матрице и обозначают .

Условием существования матрицы , обратной к квадратной матрице ,является ее невырожденность (условие , где - определитель, составленный из элементов матрицы ).

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется произведение числа на минор - определитель, получающийся при вычеркиванием -ой строки и -го столбца. Например, некоторые элементы матрицы

имеет следующие алгебраические дополнения:

; ; ;

Если квадратная матрица - не вырождена, то обратная матрица .

Задача. Решить систему уравнений матричным способом:

Решение. Составим матрицы:

- матрица коэффициентов при неизвестных; - матрица неизвестных;

- матрица свободных членов.

Тогда матричная запись рассматриваемой системы уравнений будет иметь вид . Решение матричного уравнения ,

где обратная матрица .

Найдем определитель матрицы :

Алгебраические дополнения :

; ; ;

; ;

Обратная матрица .

Решение матричного уравнения:

Ответ:

Задача. Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение. Из предыдущей задачи главный определитель системы .

Найдём определитель , который получается из определителя заменой первого столбца столбцом свободных членов.

Найдём определитель , который получается из определителя заменой второго столбца столбцом свободных членов, тогда

Аналогично:

По формулам Крамера решение системы:

, ,

Ответ:

Задача. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение. Составим расширенную матрицу системы: слева от черты коэффициенты при неизвестных, справа свободные члены. Приведем расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований со строками к виду: