Положительные и отрицательные обратные связи

Рекурсивный механизм функционирования операционально замкнутых систем вида

x_k+1 = Ф(x_k, m ), k=0,1,2,…

структурно эквивалентен действию обратной связи, возвращающей сигнал с выхода на вход системы. Если это приводит к самоусилению сигнала, или нарастанию отклонения от былого равновесия, то такую обратную связь мы называем положительной. Если мы наблюдаем стабилизацию, нейтрализацию отклонений, то обратная связь отрицательна. Оператор Ф при этом как бы сжимает отклонение, и мы возвращаемся к устойчивой неподвижной точке x^*=Ф(x^*, m ) при любых отклонениях от нее.

Реальные системы более сложны. Нередко мы имеем ограниченную область устойчивости неподвижной точки (бассейн ее притяжения), наблюдаем нелинейный характер и даже смену знака обратной связи в ходе рекурсии, то есть, немонотонность сжатия рекурсии к неподвижной точке, существование нескольких неподвижных точек с выходом рекурсии на периодический режим поочередного их посещения, хаотический режим, как собственное поведение, и даже малопредсказуемые переходы от одного режима к другому. Сложность системы может проявиться в наличии нескольких контуров обратных связей, и рассчитать их совокупный эффект будет непросто. Ясно, что в многомерных системах возможно нарастание отклонений по одним координатам вектора состояний и уменьшение по другим в соответствии со спектром показателей Ляпунова (см. Приложение). Наконец, нестабильность параметра m в операторе эволюции исключает длительное следование характерному собственному поведению.

Рассмотрим примеры. Автокаталитическая химическая реакция самоусиливается, так как вырабатывает катализатор, ускоряющий реакцию, увеличивающую производство катализатора, что еще ускоряет реакцию и т.д. по контуру положительной обратной связи. Таким образом, скорость реакции превращения вещества, оказывается прямо пропорциональной количеству вещества z или некоторой степени количества вещества. Формально это записывается следующим дифференциальным уравнением

, m > 0, p³1,

и мы получаем модель экспоненциально и даже гиперболически нарастающих реакций, когда возможен неограниченный рост за ограниченное время. Это так называемые процессы с обострениями, процессы горения в нелинейных средах, процессы роста популяции при неограниченном ресурсе [30]. Возможны и дискретные модели в виде разностных уравнений, например, такая схема

z_k+1=(1+a)z_k

роста банковского счета в соответствии со сложным процентом 100а%.

Техническая кибернетика основное внимание уделяет отрицательным обратным связям. В классической теории автоматического управления исследуются саморегулируемые устойчивые системы, состоящие из объекта управления и регулятора, охваченных отрицательной обратной связью (Рис.2.1).

Рис. 2.1. Типичная система автоматического управления.

В устройстве сравнения Sцель управления x_цел (t) сопоставляется с сигналом обратной связи, показывающим фактическое поведение x_факт(t) объекта управления и вычисляется ошибка e(t)= x_цел(t)- x_факт(t). Регулятор на основе ошибки формирует сигнал управления u(t) таким образом, чтобы уменьшать ошибку или улучшать управление по какому-либо критерию, зависящему, как правило, от этой ошибки. Так что система управляется ошибкой и невозможна без нее. Понятно, что система строится так, чтобы x_цел(t) было ее собственным поведением.

Это не единственная, но наиболее распространенная модель технической кибернетики, успешно работающая в инженерных задачах. Неудивительно, что она, как привычный и изученный образец самореферентно распространилась на многие явления естественного и социально-экономического характера, где наблюдается нейтрализация нежелательных отклонений от заданного состояния. Например, процесс терморегуляции в живом организме, где стабильность температуры поддерживается довольно точно, гормональное равновесие, другие примеры гомеостазиса или классическая схема ценообразования (рис.2.2), восходящая к работам А. Смита.

По мере усложнения анализируемых систем, учета невидимых ранее факторов и просто накопления опыта мы замечаем слабость таких моделей. Существует, например, защитное повышение температуры в борьбе с инфекцией. Значит, есть контур с положительной обратной связью. При повреждении кровеносного сосуда в организме запускаются химические реакции, скорость которых на порядки выше обычных. Существуют и другие физиологические и социальные процессы, например, иммунные, обучающие, где усиливаются отклонения. Отклонение может быть желательным, перспективным. И мы будем самореферентно обнаруживать такие процессы самоусиления повсюду, когда привыкнем к мысли, что система может достигать цели, не только ослабляя вредные воздействия, но и наращивая полезные в контурах положительных обратных связей.

Рис. 2.2. Упрощенный механизм ценообразования. Здесь d – спрос, p – предложение, z – рыночная цена, n – натуральная цена.

Как мы уже отмечали, операционально замкнутая система, изменяя структуру, не принимает любые возмущения, а лишь полезные выделяет и усиливает, создавая для этого контуры рекурсии. Проявляется избирательная чувствительность, особая настройка структуры на нужные сигналы, запрос на стимул. Вспомните голодную кошку и мышиный хвостик на рис.1.7. В системе, развивающейся под влиянием положительной обратной связи, нет предустановленной цели в виде x_цел (рис. 2.1). Итог развития (рекурсии) определяется внутренними свойствами, является собственным значением операционально замкнутой системы.

Положительные обратные связи, как вредные, так и желательные распространены повсеместно. Это многие геоморфологические процессы, разрушение горных пород, конструкций, самоусиление лавин, межличностные и межнациональные конфликты и симпатии, развитие живых организмов и патологий, накопление капитала и распространение эпидемий, идей. В обиходе мы часто называем порочным кругом эти эффекты усиления реагирования на реакции.

Небольшие различия людей в детстве, будь-то внешность, спортивные достижения, учеба, победа в конкурсе, усиливаются и разводят близких по происхождению и образованию людей на несравнимые социальные уровни, исключая коммуникацию между ними. Расслоение общества есть результат этого самоусиливающегося механизма.

Нарастающие негативные изменения в человеческих отношениях Бейтсон [6] называет схизмогенезом. Дифференциация может возникнуть не только в развитии симметричных отношений, скажем, взаимной неприязни, но также и в комплементарных отношениях типа доминирование-подчинение. Например, усиление диктатуры нарастает с положительной обратной связью. Показано, как нормальные отношения между родителем и ребенком типа опека-зависимость могут стать ужасными. Бейтсон вводит понятие “двойной связи” (double bind) как неустранимой патологии в семейных отношениях, ведущей к психическим расстройствам.

Возможно эволюционный процесс увеличения веса динозавров, своего рода гонка вооружений, способствовал их вымиранию. Кстати, в работе [7] Бейтсон называет смертным такой грех, который заставляет грешить других, и гонка вооружений как раз и является примером такой положительной обратной связи.

Нечто подобное происходит и в расслоении на межгосударственном уровне. В экономически развитых демократических странах региональные, сословные и имущественные различия уменьшаются. Тогда как в отсталых странах различия между богатыми и бедными растут, привилегированное меньшинство накапливает деньги и власть, социальная специфика облегчает и подстегивают этот порочный круг. Мир свободной торговли более выгоден для богатых стран и разрушителен для бедных [185]. Этот вывод приводит к предпочтительности планируемой экономики для слаборазвитых стран. Расслоение усиливается и в глобальных масштабах. Страны третьего мира обречены на все большую зависимость, и конфликтность будет нарастать, если не станут эффективными международные организации для регулирования дифференциации мира, для разумного управления потоками капитала.

В работе [177] процессы, управляемые отрицательной обратной связью, предложено называть морфостазисом, а самоусиливающися процессы - морфогенезисом. Поучителен приводимый там же пример возникновения и развития города в земледельческой местности. Сначала один из фермеров решает открыть лавку по продаже инвентаря, которая становится местом встреч. Там быстро появляются бар, гостиница, почта и растет поселок. Расширяется торговля сельскохозяйственными машинами, продуктами, зарождается промышленность и появляется город.

Начальный толчок мог с одинаковой вероятностью возникнуть на любой ферме, в любой точке этой первоначально однородной высокоэнтропийной равнины, но затем начинают работать положительные обратные связи, как силы притяжения, и возникает город. Неоднородность усиливается, ведь рядом не может появиться другой город – эффект тени большого дерева. С позиций термодинамики мы видим, как открытая система активно обменивается со средой, повышая упорядоченность, неоднородность и неравновесность. В дальнейшем рост города может замедлиться в силу огромного числа явных и скрытых механизмов с отрицательными обратными связями, а также за счет самоусиления каких-то губительных тенденций. Города порой приходят в упадок и пустеют. Энтропия растет и уже трудно заметить различия на фоне пустыни или тропического леса.

Понятно, что города возникали порой по приказу, в иерархических пирамидах принятия решений типа: царь-архитектор-подрядчик-рабочие, но это не относится к самоорганизации, к ситуации, где работают децентрализованные сети взаимодействий, морфогенетически использующие замечаемые различия. Здесь очевидна решающая роль каталитического ускорения процессов, запуск которых можно считать случайным.

Можно увидеть конкуренцию двух начал: хаотической диссипации энергии и возникновения неоднородностей, очагов порядка в термодинамической безжизненности. Убедительные образцы дихотомии хаоса и порядка в ходе самоорганизации дают насекомые. Термиты носят комочки глины и укладывают их хаотично на ровной площадке, пока несколько комочков не окажутся лежащими рядом. И эта неоднородность, пропитанная гормонами, привлекает насекомых, они устремляются к ней со своей глиной. Возникают равномерно распределенные холмики, расстояние между которыми регулируется концентрацией гормонов. Холмики быстро растут, подстегиваемые положительной обратной связью, и становятся основанием, колоннами и сводами тоннелей термитника – достаточно сложного сооружения, построенного без архитекторов и чертежей, но и без слепого копирования [81]. Это переход от в к б на рис.1.2.

Тот же эффект притяжения проявился и в феномене Кремниевой долины в Калифорнии, куда потянулись лучшие умы и технологии, где сконцентрировались свыше 900 фирм. И в этом уже нет случайности. Случай был в начале, когда там появилась Hewlett-Packard. Вспомните небольшие отличия в уровне компьютерной техники, производимой в Европе и США в начале 60-х, и пропасть в настоящее время. Распространение метрической резьбы и английского языка – тоже примеры положительной обратной связи. Чем больший сектор рынка захвачен продуктом, тем быстрее и легче идет вытеснение оставшихся конкурентов. Причем этот продукт может быть не лучше других и чисто случайно обогнать конкурентов на начальном этапе.

Рассмотрим “маргаритковый мир” Дж.Лавлока (Lovelock) [ 168 ]. Эта модель красиво иллюстрирует возможности равновесия и стабильности на основе положительных обратных связей. Представьте планету с единственной формой жизни в виде маргариток с темными и светлыми цветами, способными существовать в температурном диапазоне от 5 до 40^оC, предпочитая температуру 20^оC. Светимость местного Солнца возрастает по мере его старения, поэтому температура планетной поверхности вроде бы должна на протяжении всей ее истории увеличиваться.

Вот экваториальная область планеты нагрелась до 5^оC, и появляются наши темные и светлые маргаритки примерно в равной пропорции. При этом в тех местах, где доля темных цветов случайно окажется выше средней, локальное альбедо будет несколько уменьшаться, а грунт прогреваться до более высокой температуры - то есть более близкой к оптимальным для маргариток 20^оC. Это дает темным селективное преимущество, и запускается положительная обратная связь: темные цветы распространяются и уже заметно снижают общее альбедо, и пригодная для жизни область расширяется, что вызывает дальнейшее понижение альбедо, и т.д. Но вот наступает время, когда на планете, уже полностью заселенной маргаритками, в результате усиления светимости Солнца температура на экваторе начинает превышать 20^оC. С этого момента преимущества оказываются на стороне светлых цветов, увеличивающих локальное альбедо и понижающих температуру мест своих обитаний. Расселение светлых маргариток происходит по точно такой же схеме (от экватора к полюсам), с той же с положительной обратной связью. Ясно, что с ростом светимости Солнца наступит момент, когда возможности наших маргариток по кондиционированию среды обитания окажутся исчерпанными; температура превысит 40^оC, и планета опять станет безжизненной. Расчеты показали, что на протяжении всего времени между этими критическими моментами температура поверхности планеты будет практически постоянной - около 20^оC, несмотря на непрерывное возрастание светимости Солнца.

Однако нарастание отклонений в контурах положительных обратных связей не бывает бесконечным. После какого-то предела начинает проявляться либо ограниченность ниши, либо происходит качественное изменение, даже разрушение структуры или возникают отрицательные связи защитного, компенсирующего характера, останавливающие тенденцию самоусиления, приводящие к насыщению. Это можно трактовать как нелинейный эффект ограничения, стабилизации на нужном уровне. Можно объяснить качественные изменения тем, что положительная обратная связь меняет параметры до достижения бифуркационных значений с последующей сменой режима. Понятно, что здесь включаются автопоэзийные механизмы изменения структуры для сохранения организации, но распознать эти процессы бывает непросто. На рис.2.3 показана схема действия закона уменьшения прибыли.

Рис. 2.3. Два контура обратной связи в ходе реинвестирования.

Налоговые отчисления будут расти быстрее прибыли и по верхней петле отрицательной обратной связи довольно быстро скомпенсируют самоусиление капитала в нижней петле, что сделает уже невыгодными добавочные вложения в эту сферу. Процесс роста капитала скорее всего произойдет по так называемой логистической кривой (рис. 2.4), которая удивительно часто встречается в исследованиях динамики развития различных по природе систем. Аналогичные механизмы лежат в основе законов убывающей полезности, продуктивности.

Рис. 2.4. Логистическая кривая самоусиливающихся процессов с последующим насыщением.

В любой сложной системе есть подсистемы, которые при отсутствии коррекции со стороны метасистемы "экспоненциально убегают" [6]. Коррекцию можно реализовать, создав контур отрицательной обратной связи. Система гомеостатически поддерживает важные параметры в безопасном диапазоне. Причем для этого меняются другие параметры, гомеостаз которых обеспечивается изменениями следующих переменных и т.д. (см. рис.1.5). Это можно увидеть в эволюционном процессе, акклиматизации, приобретении привычек и навыков.

Известно, что потоотделение, охлаждая кожные покровы, удерживает температуру тела в допустимом диапазоне, не допуская перегрева. Однако при снижении содержания воды в организме до опасного предела потоотделение прекращается. При невозможности поддержки гомеостаза средствами нижнего уровня происходит передача управления на высший уровень, происходит изменение структуры в целях самосохранения.

Логично предположить, что обучение сложным, да и не очень сложным навыкам на какой-то стадии включает положительную обратную связь. Вдруг появляется и быстро нарастает умение, скажем, держаться на велосипеде, горных лыжах. Появляется автоматизм, навыки реализуются уже на подсознательном уровне, и это обеспечивает дальнейшее совершенствование. При обучении стрельбе из лука, стрельбе из винтовки “от бедра”, где мы не сводим прицел с целью, уменьшая отклонение, мастерство, судя по описаниям, тоже нарастает лавинообразно. Возникает системный эффект слияния стрелка с оружием и целью на некоторой воображаемой линии.

Похоже, что отрицательные обратные связи обеспечивают стабилизацию важных факторов в допустимых пределах, а положительные обеспечивают необходимую для генезиса изменчивость и чувствительность. Эту мысль можно встретить в работах Моисеева Н.Н. [49]. Положительные обратные связи дестабилизируют систему, повышают ее неравновесность и тем облегчают ее переход к новым спасительным структурам. Бесспорно, гибкая восприимчивость биологической эволюции и креативная изобретательность социального прогресса имеют сходные механизмы. Однако эволюция социальной системы, происходящая в эволюционизирующей в таком же темпе социальной среде, в условиях эволюции правил эволюции, может неизмеримо ускоряться по сравнению с биологической эволюцией.

Для жизнеспособности сложной системы необходимо противодействие и баланс полярных сил, действие которых может проявляться как обратные связи разного знака. Скажем, экстремизм молодых компенсируется консерватизмом взрослых. Некоторая условная устойчивость, зыбкое равновесие, как выход на насыщение логистической кривой, обеспечивается в изощренной борьбе видов, классов, полов, поколений и пр. Изменение одного фактора меняет диапазон приемлемых для гомеостатического баланса значений другого фактора. Это выглядит как кибернетическая модель совместного онтогенеза автопоэтических систем. Искусное поддержание такой системы противовесов между внешней мотивацией и критериями внутренней стабильности, между текущими и перспективными целями составляет один из принципов управления, описанный в главе 3.

В явлениях самоорганизации нередко наблюдаем одновременное действие возбуждающих и тормозящих контуров, как в центральной нервной системе, баланс между которыми может регулироваться и на метауровне. В биологических процессах формообразования распространенной является модель “активатор-ингибитор” двух антагонистических компонентов эволюции [172]. Активатор приводит к ускорению течения процессов на основе положительной обратной связи, а ингибитор - к замедлению. Сложная дихотомическая игра этих двух факторов нередко приводит к удивительным и фрактальным узорам.

Как отмечалось, основной признак операциональной замкнутости - избирательное реагирование на сигналы из среды. Система ослабляет вредные воздействия в контурах отрицательных обратных связей и усиливает полезные стимулы в контурах положительных связей. Но для того, чтобы опознать стимул, нужно увидеть его проявления, его влияние на внутреннюю стабильность, на жизнеспособность. Для этого могут использоваться пробные шаги в направлении поддержки стимула, а уж затем включается обратная связь нужного знака либо комбинация связей.

Любопытно, что даже в сравнительно простых системах, но допускающих режим детерминированного хаоса, режим этот характерен непредсказуемым чередованием знака обратной связи, сменой сжатия и растяжения и обнаруживает фрактальную глубину разнообразия своих динамических проявлений. Да и самые известные фрактальные множества Жюлиа и Мандельброта характерны глубиной и причудливостью пограничной “бахромы”, которая как бы формируется в бесконечной борьбе разнополярных тенденций за бесконечно малые участки (см. Приложение).

Сети взаимодействий

В сложных системах мы видим разветвленные сети отношений между многочисленными факторами и можем выделить множество контуров с разными по знаку обратными связями. Понятно, что именно в этих сетях реализуется самоорганизация и возможности их моделирования и анализа исключительно важны для наших задач. Изобразим связь четырех факторов в виде графа (рис.2.5а), где каждая вершина соответствует конкретному фактору. Знак “+” на стрелке, ведущей, например, от z₄ к z₂ , говорит о том, что с ростом уровня жизниподнимается и арендная плата. Знак “ - ” говорит об обратной пропорциональности.

Прирост Арендная

	Z1	Z2	Z3	Z4
Z1
Z2	-1		+1
Z3	+1			-1
Z4	+1	+1

населения Z₁ плата Z₂

-

+ +

_{+ +}

Плотность застройки Z₃

_-

Уровень а) б)

жизни Z₄

Рис. 2.5. Граф и матрица смежности его вершин.

Такую модель визуализации отношений факторов в изучаемом явлении называют также когнитивной картой [83]. Вместо нее можно использовать матрицу (рис.2.5 б), которая позволяет компактно записывать и анализировать подобные сети.

Рассмотрим более сложную сеть связи факторов в городской среде, приведенную в [177].

Рис. 2.6. Возможная связь некоторых факторов урбанистической системы.

Выделим контур . Дадим отклонение – приток жителей +DP. Пройдем по контуру и, вернувшись в P, увидим, что это начальное отклонение увеличилось. Значит, это контур положительной обратной связи. Но население не будет увеличиваться лавинообразно, есть и другие контуры, скажем , который уменьшает начальное отклонение. Легко заметить и сформулировать следующее правило: четное число минусов в контуре делают эту связь положительной, нечетное – отрицательной.

Набор факторов во многом определяется целями исследования и может быть другим, например, уровень жизни, земельная рента, число бездомных, плотность населения. При построении подобных графов очень важно исключать опосредованные связи[8]. Скажем, связь между P и B осуществляется посредством G, поэтому и отсутствует стрелка от P к B. Известен пример заметной корреляции между количеством аистов и рождаемостью детей в одной из областей Германии. Очевидно, что эта связь опосредована уровнем индустриализации, который ухудшает условия обитания аистов и стимулирует переселение сельских жителей в города с традиционно меньшим числом детей в семьях.

В сборнике [197] предлагается следующий метод выявления структуры связей в организации. Администраторы разных уровней составляют доступные им схемы внутрифирменного взаимодействия, указывая в вершинах факторы и влияющих на них людей. На стрелках указывается периодичность и характер воздействий и названия документов. Затем из этих схем, как из перекрывающихся фрагментов составляется общая реально действующая структура организации, фактическая, а не декларируемая. Она обсуждается и уточняется с участием всех фигурирующих в ней людей.

Разумеется, многие связи и факторы в сложных системах нам неизвестны, так что не исключено влияние иных контуров. На основе таких моделей возможен лишь качественный поверхностный анализ изменений и наиболее вероятных сценариев рекурсивного развития ситуации. Однако, если граф учитывает основные механизмы эволюции системы и нам доступно измерение факторов, то не безнадежна попытка идентификации системы в виде дифференциальных или разностных уравнений, то есть, поиск количественного описания.

В общей теории систем и в исследованиях динамики биологических популяций известны методы оценки устойчивости сетей, представленных в виде ориентированного графа с дугами, размеченными знаками воздействия (типа рис.2.6). Рассмотрим попытку анализа последствий применения инсектицида, приведенную в [35].

Обозначим культивируемое растение z_1, другое растение - z₂,инсектицид – z₃ , насекомое-вредитель, поедающее z₁, обозначим z₄. Существует также насекомое z₅, поедающее z₄, и насекомое z₆, поедающее z₄. Выявлено также насекомое z₇, поедающее растение z₂, единственное на которое не действует исследуемый инсектицид, и служащее пищей для z₆. Таким образом, системная взаимосвязь этих семи факторов формируется следующей матрицей:

	Z1	Z2	Z3	Z4	Z5	Z6	Z7
Z1	-1			+1
Z2		-1					+1
Z3				-1	-1	-1
Z4	-1				+1	+1
Z5				-1
Z6				-1
Z7		-1				+1

Допустим, мы можем измерить интенсивность воздействия фактора z_m на фактор z_s каким-то числом b(z_m, z_s). Допустим, по мнению эксперта, повышение концентрации инсектицида z_m на 30% приводит к уменьшению плотности популяции z_s на 50%. В таких случаях добавляют – “при прочих равных условиях”, имея в виду постоянство уровней остальных влияющих факторов. Это утопичное предположение оставим на совести нашего эксперта. Тогда в простой линейной аппроксимации связи факторов в виде разностных уравнений

получим весовой коэффициент b(z_m, z_s) = -5/3. Уточнив аналогично все весовые коэффициенты, сможем разметить граф, указав на дугах эти весовые коэффициенты, определить элементы матрицы и провести проверку устойчивости такой линейной модели[9]. Для этого нужно найти корни характеристического уравнения матрицы смежности и, если все эти корни расположатся на комплексной плоскости внутри круга единичного радиуса, то модель устойчива. Другими словами, в ней возможен стационарный режим.

Разумеется, такие системы линейных разностных или дифференциальных уравнений не более чем игрушка для посвященных и упражнение для студентов. Ничего подобного статическому равновесию и даже гармоническим колебаниям в действительности мы не увидим и не только из-за влияния неучтенных факторов. В реальных системах связи факторов нелинейны, кроме того, имеет место взаимодействие двух и более факторов в их влиянии на другой фактор. На характер изменения фактора может влиять его произведение с другими, а также произведения и степени других факторов. Обычно при этом ограничиваются полиномами второго порядка в правых частях дифференциальных уравнений, моделирующих динамику факторов. См. например, [71]. Такая квадратичная аппроксимация уже приводит к изменениям знака обратных связей, к появлению сложных нерегулярных колебаний. Наиболее изучена модель вида

,

которая лучше отражает реальность и используется в самых разнообразных сферах исследований от лазера до анализа экономической активности. Но адекватность и прогностическая способность ее быстро уменьшаются на этом переходе от физических к социально-экономическим задачам.

Структуру и даже коэффициенты правых частей уравнений можно определять на основе когнитивных карт в ходе экспертного обсуждения механизма взаимосвязи факторов, итеративно уточняя модель по промежуточным результатам имитации. Приведенные ниже примеры показывают возможности этого подхода к моделированию сетей.

Рассмотрим несколько подходов к этой задаче. Уже достаточно давно для моделирования связи популяций в замкнутых экосистемах используются идеи, впервые формализованные в виде дифференциальных уравнений Лотки-Вольтерра [71]. Эти уравнения учитывают рождаемость жертв, смертность хищников, частоту их встреч, влияние встреч на прирост хищников и убыль жертв. Простая модель дает, тем не менее, колебания численности животных, похожие на реальные.

Если обозначить буквами v и z численности популяций волков и зайцев, то граф влияния факторов в системе “хищник -жертва” получается очень простым (рис.2.7).

Рис.2.7. Граф системы “хищник - жертва”.

Будем считать v(t) и z(t) состояниями автономной динамической системы в момент t. Попробуем сконструировать дифференциальные уравнения этой системы на основе анализа влияния состояний и их произведений на скорости изменения состояний:

(2.1)

.

Здесь a - коэффициент рождаемости зайцев, g - коэффициент смертности волков. Вероятность встречи с хищника с жертвой пропорциональна произведению их численностей , коэффициент b учитывает шансы волка догнать зайца и зависит от погодных и ландшафтных условий. Так что множитель b z дает среднее количество зайцев, съеденных одним волком в единицу времени, множитель kb z определяет относительный прирост волков в единицу времени от количества пищи. Коэффициенты a, b, k и g составляют тот самый вектор параметров m из уравнений (1.1) и (1.2), который регламентирует взаимодействие популяций с некоего метауровня (см. рис.1.5).

На рис.2.8 показаны решения системы (2.1), которые можно воспринимать как результат имитации изменения численности популяций, если в начале было z(0)=37 зайцев и v(0)=6 волков. Эти колебания напоминают фактические изменения численности животных, наблюдаемые в природе, однако точность прогнозов недостаточна для практических задач регулирования популяций. Очевидна необходимость учета влияния других животных, растительной массы, климатических колебаний.

Рис. 2.8. Взаимосвязанные колебания численности хищников и жертв в системе (2.4).

Любопытно, что даже в такой элементарной сети взаимодействия уже начинает отказывать обычный здравый смысл, и неудачными оказываются попытки избежать вымирания, то есть поддержать жертв, повысить нижнюю границу их численности путем повышения рождаемости a или уменьшения гибельности встреч с хищником b, то есть логичными на первый взгляд мерами. Оказывается, что эффективно помочь зайцам и обеспечить динамический баланс двух видов можно, лишь помогая волкам. Это один из постулатов древнекитайской философии - поддерживать равновесие между добром и злом, вместо борьбы со злом [32]. Для этого вывода понадобилось моделирование.

Сети взаимодействий имеют собственную логику. Эта логика настолько отличается от привычных дедуктивных причинно-следственных схем, что наша интуиция становится бесполезной. Известно, например, что попытки повысить пропускную способность делового центра Штуттгарта включением дополнительных улиц давали обратный результат. Запрет движения по некоторым улицам неожиданно снижал вероятность пробок. Хорошая “сетевая” идея сначала часто выглядит идиотской [87].

Принципиально возможно учесть эффект географической неоднородности популяций. Это приводит к уравнениям в частных производных. Мы можем учесть плотность расселения на плоскости с осями x и y при анализе взаимодействия нескольких популяций, влияние миграции, зависящее от координат [25,115].

Анализ и моделирование таких систем позволяет выявить специфику взаимодействия, влияние параметров на устойчивость возникающих режимов и натренировать интуицию. Более детальный анализ ситуации, учет дальних последствий, второстепенных, неявных связей может выявить совершенно иную динамику изменения факторов. При моделировании сетей, связывающих много факторов, нередко возникает неустойчивость или нечто похожее на хаотический режим. Анализ таких сложных сетей и выбор правильной тактики вмешательства возможны лишь на основе компьютерного моделирования. Человеческой интуиции не хватает, и мы вернемся к этим проблемам в разделе 2.5.

Рассмотрим еще ряд похожих моделей. Этот же подход давно используется при составлении уравнений кинетики химических реакций. Например, известно, что две молекулы вещества w₁ преобразуются в одну молекулу вещества w₂ и одну молекулу w₃ со скоростью k₁. Из молекул w₂ и w₃ образуется одна молекула w₁ со скоростью k₂. А из молекулы w₂ со скоростью k₃ получается молекула w₃. Это соответствует следующей схеме реакции

и системе уравнений вида

,

где c_i – концентрация вещества w_i.

В книге [56] приводится близкая модель перераспределения банковского капитала под воздействием изменяющейся степени привлекательности каждого из банков. В книге [15] описаны модели взаимодействия социальных групп, демографических, региональных процессов с использованием основного уравнения (master equation). Это уравнение отражает динамику изменения закона распределения вероятностей состояний системы (макропеременных) с учетом вероятностей перехода из состояния в состояние. Модель построена по аналогии с дифференциальными уравнениями Колмогорова для марковских процессов с непрерывным временем. Интересны демографические модели [25,26], учитывающие экономические факторы, земельную ренту и возрастную структуру населения. Наивно рассчитывать на точные прогнозы, но эти схемы автономного взаимодействия факторов выглядят очень правдоподобными и могут использоваться для качественного моделирования и анализа влияния факторов.

При изучении малых социальных групп, в статических и динамических моделях групповых структур используются социоматрицы [58]. Элемент социоматрицы x_ij представляет собой интенсивность отношения индивида i к индивиду j. При этом отрицательная интенсивность означает негативное отношение. Анализ социоматриц позволяет в частности выделять антагонистические коалиции в группе. Известны попытки построения моделей динамики (развития) отношений [161]. Однако исходные предпосылки и ограничения этих моделей мало похожи на социальную реальность, что снижает доверие к результатам.

Следующим шагом на пути повышения сложности и адекватности моделей социального взаимодействия следует назвать сеть, узлами которой являются конечные автоматы с наборами “психических” реакций [37]. Связи в сети соответствуют интенсивностям социоматрицы, то есть, восприятиями соседа на графе отношений. Выбор реакции для корректировки восприятия зависит от состояния автомата и инцидентных ему дуг графа и использует идеи когнитивного диссонанса Л.Фестинжера (Festinger) [58]. Динамика смены состояний моделируется дискретной марковской цепью. На этом пути математически получен ряд нетривиальных выводов о сбалансированности сетей, формализовано понятие когнитивного диссонанса, однако сообщений об экспериментальной проверке результатов такого моделирования процессов социального взаимодействия нет.

Для синергетического подхода к социодинамике [15,74,173] характерно внимание к моделированию макроуровня коллективных процессов и тенденций, которые конечно же складываются из индивидуальных мнений и поведений, но влияют на них и подчиняют их общему социальному потоку, выступая как параметры порядка самоорганизующейся системы. Иначе говоря, индивидуальные мотивации зависят от макроситуации, но ведут к персональным решениям и действиям, влияющим на эту ситуацию.

Динамика рельефа земной поверхности [61,62] определяется направленными изменениями объема форм рельефа V и площади S их поверхности, при известных физических свойствах вещества, из которых следуют морфометрические показатели. В силу того, что скорость роста размеров форм рельефа определяется расходами P и Q вещества, соответственно в F - и D -литопотоках (F - глубинный литопоток, D – экзогенный литопоток), динамика геоморфосистем описывается уравнением

dV/dt = P(S,t) –Q(S,t).

Если в качестве размеров экосистемы брать объем V вещества, заключенного в формах рельефа, то получим следующую систему уравнений

где k – коэффициент денудации (размыва), а m – показатель, определяемый фрактальной размерностью поверхности рельефа.

Рассмотрим еще модель связи объема производимого в городе продукта x, численности населения y и земельной ренты z [25, с.172-173].

В этой модели a₂ означаетспрос продукта на душу населения a₃ – доля предложения продукта внутри города. Так что a₂у - a₃x представляет избыток спроса, который с коэффициентом a₁ влияет на темп роста производства. Коэффициент c₂ дает спрос нарабочую силу для производства единицы продукта, c₂x – общий спрос на городском рынке труда, c₃ – доля жителей работающих в городе, c₃y – предложение на рынке труда. На темп миграции жителей влияет избыток рабочей силы c₂x - c₃y и величина земельной ренты в произведении с объемом производимого продукта c₄xz. Другой мультипликативный член b₁xy показывает, что на рост ренты положительно влияют и x, и y. Можно преобразовать эту систему уравнений к системе Лоренца [164], показав тем самым возможность режима детерминированного хаоса даже в такой упрощенной сети факторов. Это как будто открывает путь к анализу условий и значений параметров a_i, b_i , c_i , приводящих к хаотическим флуктуациям x, y и z. Однако схематичность этой модели заставляет сомненеваться в точности результатов моделирования. Хотя на качественном уровне выводы подобных исследований безусловно полезны.

Колебания цен на финансовых рынках отличаются рефлексивной чувствительностью к действиям наблюдающих эти колебания участников и потому труднопредсказуемы. С другой стороны, финансовые рынки существуют лишь потому, что далеки от равновесия, разнородны по ожиданиям и горизонтам ожиданий участников. Это вызвало к жизни область знаний, называемую техническим анализом (см. например [40]), располагающую большим набором в основном эмпирических методов прогнозирования ценовых тенденций.

Рассмотрим попытку идентификации механизма рыночного ценообразования, как автономного взаимодействия сил спроса и предложения в системе дифференциальных уравнений. Обозначим влияние спроса (силу “быков”) y_б, влияние предложения (силу “медведей”) y_м, текущее значение цены z, скорость изменения цены x=dz/dt. Анализ возможного взаимовлияния этих факторов на динамику цены позволяет предложить следующую модель

(2.2)

Видно, например, что рост цены вместе с давлением “медведей” xy_м мультипликативно усиливает “быков”, то есть хочется покупать и есть предложения. Подобными рассуждениями определяется форма правых частей уравнений [104]. При удачном подборе коэффициентов получаем колебания цены (рис.2.9), напоминающие мультицикличность биржевых диаграмм.

Рис. 2.9. Имитация колебаний цены, как решение системы (2.2).

Понятно, что реальные процессы ценообразования неавтономны, реагируют на множество внешних факторов, то есть содержат элемент случайности, и рассчитывать на хороший прогноз по моделям вида (2.2) не приходится. Однако, данный пример показывает, что основной механизм можно имитировать и изучать с помощью таких упрощенных моделей. Познавательная ценность модели сложной системы не всегда совпадает с прогностической ее способностью. Более того, возможности прогноза принципиально ограничены в хаотическом режиме, так что предсказательная сила моделей не служит мерой их адекватности.

Детерминированный хаос как артефакт самоорганизации, возникающий в сравнительно простых автономных, но нелинейных и диссипативных системах (см. Приложение) склоняет нас к предположению о подобном происхождении разнообразных хаотических проявлений динамики природных и социальных систем. Получение похожих режимов в результате моделирования реальных систем в виде дифференциальных или разностных уравнений можно считать большой удачей и свидетельством того, что модель отражает большинство фактических связей изучаемого явления. Хотя при таком подходе неизбежны примитивизация и даже некоторая вульгаризация высших проявлений самоорганизации. Чем более определенной, прозрачной становится математическая модель, тем дальше она от реальности.

Здесь уместно еще раз подчеркнуть отличие моделируемых сетей от сетей материальных потоков, интенсивности которых определяются накопленными уровнями в узлах. И хотя эта зависимость потоков от уровней может быть достаточно сложной [90,91], условия энергетических и материальных балансов как бы сдерживают «фантазию» сети. Она труднопредсказуема, «контринтуитивна», но сравнительно просто моделируется и затем изучается на основе модели. Когда же мы пытаемся моделировать коммуникацию социальных объектов, динамику рефлексивных отношений в человеческих коллективах, иначе говоря, применяем подобные модели в креатуре, мы не можем не видеть их «нищету» и должны интерпретировать результаты с повышенной осторожностью. Без значительных интеллектуальных усилий никакие возможности вычислительной техники в этих условиях не приведут ни к пониманию механизмов, ни к надежному прогнозированию.