Лабораторная работа №2

Действительные числа. Метод математической индукции. Абсолютная величина.

Опр.1. Числа 1, 2=1+1, 3=2+1,…n-1,n=(n-1)+1… называется натуральными. Таким образом, множество натуральных чисел может быть определено как наименьшее – числовое множество, содержащее число 1 и вместе с каждым числом n содержащее число n+1.

Метод математической индукции: если предложение, зависящее от натурального числа n:

а) верно для некоторого начального значения n=n , например, n=1;

б) из допущения, что оно верно для n=k, где k n произвольное натуральное число, вытекает, что предложение верно и для n=k+1, то предложение верно при любом натуральном n N.

Пример 1. Доказать, что верно равенство:

1 +2 +…+n = (1).

Решение: 1. ] n=1, тогда (1 =1) ( = =1), 1=1.

Действительно, равенство верно при n=1.

2. Допустим, что равенство (1) верно при n=k.

3. Докажем верность равенства (1)при n=k+1:

1 +2 +3 +…+k +(k+1) =(1 +2 +…+k )+(k+1) .

Т.к. равенство верно при n=k, то (1 +2 +…+k )+(k+1) = +(k+1) =(k+1)[ +(k+1)]=(k+1) =(k+1) .

Разложим 2k +7k+6 на множители, для этого найдем его нули:

2k +7k+6 =0

D=49-48=1>0 k = ; k = =-2, k = = -

Значит, 2k +7k+6= 2(k+2)(k+ )=(k+2)(2k+3)

Таким образом, 1 +2 +3 +…+k +(k+1) = ,

Т.е. равенство (1) верно при n=k+1. Значит, это равенство верно при

n N

Опр.2. Множество R называется множеством действительных чисел, а его элементы x R - действительными числами, если выполняется следующий набор аксиом: (см. В. А. Зорич «Математический анализ» стр. 45)

I. Аксиомы сложения (?).

II. Аксиомы умножения (?).

III. Аксиомы связи сложения и умножения (?).

IV. Аксиомы порядка (?).

V. Аксиомы связи сложения и порядка (?).

VI. Аксиомы связи умножения и порядка (?).

VII. Аксиомы полноты (?).

Опр.3. Абсолютной величиной (модулем) числа x называется число |x|, определяемое условиями: |x|=

Свойства абсолютных величин:

1. , |x| 0

2. , |x|=|-x|

3. , x |x|, -x≤|x|

4. , |x+y|≤|x|+|y|

5. , | |x|-|y| |≤|x-y|.

6. , |xy|=|x| |y|.

Неравенство |x|≤ означает, что - .

Неравенство |x| означает, что (x .

Пример 2. Решить неравенства: а) |2x-1|<1,

б) |x -8x+12|>x -8x+12.

Решение: а) неравенство |2x-3|<1 равносильно неравенствам –

1<2х-3<1, откуда 2<2x<4 1<x<2.

Ответ: (1,2).

б) данное неравенство справедливо для тех значений х, при которых x -8x+12<0. Найдем нули квадратного трехчлена:

x -8x+12=0

(x +x =8) (x x =12) (x =2) (x =6)

Таким образом, x -8x+12=(х-2)(х-6). Решаем методом интервалов:

Ответ: (2,6).

Пример 3. Имеет ли решение уравнение: |x|=x+5

Решение: при х 0 имеем х=х+5, решений нет. При х<0 имеем –х+х+5=0 , х= . Это значение удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ: х= .

ВАРИАНТЫ

1. Доказать равенство:

1) + + +…+ =

2)

3)

4)

5)

6)

7) =

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

2. Доказать, что для справедливо утверждение:

1) 6 +1 кратно 7 2) 7 -1 кратно12

3) 4 +15n-1 кратно 9 4) n -n является четным

5) 5 +1 кратно 6 6) 9 -8n-9 кратно 16

7) кратно 3 8) 3 +1 кратно 4

9) кратно 19 10) кратно 133

11) кратно 3 12) кратно 57

13) кратно 19 14) кратно 8

15) кратно 4 16) кратно 9

17) кратно 27 18) кратно 4

19) кратно 17 20) кратно 81

21) кратно 43 22) кратно 16

23) кратно 7 24) n³+5n кратно 6

25) кратно 4

3. Решить уравнение и неравенство:

1) |3x-2|=0,3; |3x-5|-|2x+3|>0

2) |2x+2,5|=|x-3,3|; 2x -5|x|+3 0

3) |2x+3|=0,1; |x -5x|>|x |-|5x|

4) |x+4|=|x-4|; x -2|x|-3>0

5) |x+7|=|x-2|+|x-3|; x -4|x|+3>0

6) x -2|x|-3=0; |x| |x-2|

7) |sinx|=sinx+1; |x-5|<|x-1|

8) |2x+1|=3; |x-1|<|x+1|

9) |x-2|+|x-4|=3; |4x+5|<3

10) ;

11) ; |x²-4|<3x

12) |x²-x-5|=1;

13) x²-|x|-2=0; |3x-2|>|2x+1|

14) 2(x-1)²+|x-1|-1=0;

15) x|x|+8x-7=0;

16) |x-2|x-6x+8=0; x²-4|x|<12

17) x²-2|x-1|=2; |x+1|+|x-1| 2

18) |x+3|=x²+x-6; 2|x-3|+|x+1| 3x+1

19) |x²+x-1|=2x-1; |3x-2|x<1

20) |x-1|+|x+2|-2x=1;

21) ; |x²+x-2|>

22) |5-3x|=2x+1; 3x+|2-x| 5

23) x²-7=|3x-7|; 3x>2-|3-x|

24) x|3x+5|=3x²+4x+3;

25) |3x-8|-|3x-2|=6;