Предел последовательности

Опр.1. Пусть поставлено в соответствие вполне определенное число a (причем различным n могут соответствовать одинаковые числа). Совокупность элементов a , n=1,2,3… называется числовой последовательностью, каждый элемент a - элементом (членом) последовательности, n-его номер.

Опр.2. Число называется пределом последовательности , , если для любого сколь угодно малого действительного положительного , найдется такой номер , зависящий от , что | a - a |< при .В этом случае пишут а = а или а а при n .

Опр.3. Последовательность , n ,называется ограниченной, если существует действительное число с>0, что | a |<c при .

Пример 1. Зная несколько первых членов последовательности, написать одно из возможных выражений для общего члена:

; ; ; ; ;…

Решение: числитель каждого из заданных членов последовательности равен квадрату номера этого члена плюс единица, т.е. n +1. Знаменатели образуют арифметическую прогрессию 3,8,13,18…. с первым членом x =3 и разностью d=5. Поэтому x =x +d(n-1)=5n-2.

Следовательно, исходная формула а = .

ЗАМЕЧАНИЕ: знание нескольких первых членов последовательности еще не определяет эту последовательность.

Пример 2. Доказать, что последовательность а =(-1) sin n ограничена.

Решение: | а |=|(-1) sin n|=|(-1) | | | |sin n| =2- <2,

Отсюда, по опр.3. а -ограничена, с=2.

Пример 3. Непосредственно доказать, что при ,

Решение: Необходимо доказать, что

Пример 4. Пользуясь опр.2., доказать, что а = , если а = , начиная с какого n выполняется неравенство

| а - | <0,01.

Решение: найдем | а - | = | - | = .

Пусть >0 задано. Выберем так, чтобы выполнялось неравенство < .

Решаем это неравенство: в силу 17 действительных чисел, будем иметь 5 -1> > .

Положив = [ ]+1, получим, что при , | a - |< .

А это означает в силу опр.2. а = . Пусть =0,01, тогда n =[ ]+1= [ ]+1=6 и все члены последовательности, начиная с шестого, содержатся в U() – окрестности точки , т.е. в интервале ] [ =]0,59;0,61[.