2015-10-22
555
Предел функции.
Опр.1. Число 
называется пределом функции 
при 
, если для любой окрестности 
числа существует такая проколотая окрестность 
числа a, что для всех 
, 
Это определение по Коши. Число может быть как конечным, так и бесконечным. В частности, если числа и а конечны, получаем следующее определение (на языке “ 
- 
”).
Опр.2. Число называется пределом функции при , если для всякого 
существует такое число 
>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< 
< 
и входящих в область определения функции 
, справедливо неравенство:
(1)
и обозначается 
Если а = + 
, то получаем следующее определение.
Опр.3. Число называется пределом функции при 
, если для всякого существует такое число 
>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 
и входящих в область определения функции , справедливо (1) и обозначается:
(определение “ -C”).
Определение предела функции по Гейне: Число А называется пределом функции y= f (x) при (в точке a), если для любой сходящейся к числу а последовательности 
значений х, входящих в область определения функции и отличных от a, соответствующая последовательность 
этой функции сходится к числу А.
Пример 1. Пользуясь определением предела по Гейне, доказать, что
.
Решение: Рассмотрим любую последовательность , удовлетворяющую двум условиям:
1) 
2) 
.
Этой последовательности соответствует последовательность значений функции:
…
Тогда на основании свойств сходящихся последовательностей (каких?) будем иметь
Т.о. независимо от выбора последовательности , сходящейся к числу 2 
, соответствующая последовательность значений функции 
А это на основании определения предела функции по Гейне значит, что
Замечание 1: Определением предела по Гейне удобно пользоваться тогда, когда доказывается, что функция f (x) не имеет предела. Для этого достаточно показать, что существует две последовательности 
но соответствующие последовательности 
имеют неравные пределы.
Пример 2: Доказать, что 
не существует.
Решение: возьмем
Тогда соответствующие последовательности значений функции таковы:
Следовательно,
, т.е. 
не существует
Замечание 2: Пример 2 показывает, что вывод о наличии предела функции нельзя делать, исходя из последовательности {xn} частного вида (например, исходя из xn'' =1+ 
), а нужно рассматривать произвольную последовательность {xn }, имеющую заданный
предел а.
Пример 3: Пользуясь " – " определением предела, доказать, что
Решение: Надо доказать, что для "e>0 существует такое de >0, что из неравенства 0 < |x-1| < de следует, что | f (x)-1| < e, f (x)=4x-3. Зададим
e > 0 и рассмотрим выражение: | f (x)-1|=|4x-3-1|= 4|x-1|.
Если взять de ≤ e/4, то для всех х, удовлетворяющих неравенству |x-1| < de, будем иметь | f (x)-1| = 4|x-1|<4de ≤ 4e/4=e.
Следовательно,
Пример 4: f (x)=1/(x-1) доказать, что 
Решение: По определению 
, если для " М>0 можно подобрать dМ>0, что для всех х¹ а, удовлетворяющих неравенству
0<|x- a |<d, будет выполняться условие 
>M. В нашем случае по заданному M>0 будем подбирать dМ из условия
| 
1/|x-1|>M Ú |x-1|<1/M.
Следовательно, положив dM=1/М, получим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|x-1|<dM, выполняется неравенство 
M, значит,
ВАРИАНТЫ.
1. Доказать, что предел функции не существует:
2. Доказать с помощью "e-d" определения существования следующих пределов и по заданным e, подобрать de: e1=0,5;e2=1;e3=1/100.
3. Доказать, что
