2015-10-22
1829
В большом ряде моделей процессов и в задачах анализа требуются как оценка имеющегося объекта, так и сравнение между собой различных моделей. Так как матрицы - один из наиболее распространенных способов описания экономических процессов и объектов, то использование их универсальных характеристик удобно для задач эталонного сравнения. Собственные значения и векторы и представляют собой такие характеристики.
Собственным векторомквадратной матрицы А называется вектор 
0, удовлетворяющий матричному уравнению А = 
, где - собственное значение матрицы, соответствующее вектору .
Представим это равенство в виде
(А- Е) =0.
Чтобы это однородное матричное уравнение имело ненулевые решения , необходимо и достаточно равенство нулю определителя
D(А- Е)=0.
Это - характеристическое уравнение (степени n)для матрицы А.
Отсюда получаем сначала собственные значения , а затем собственные векторы . Общее число этих характеристик равно порядку n матрицы А.
Рассмотрим пример: определить собственные значения матрицы А = 
.
Составим: А- Е= - 
= 
; D(А- Е) = 
= 0 или
(2- )(3- )-2=0, откуда получим два собственных значения: 
=1; 
=4.
Определим собственные векторы для каждого 
:
1. =1 
=0, т.е. 
=0 или х +2 х = 0.
Собственный вектор определится с точностью до постоянного множителя с. Положим х =1, тогда х = -2 и = с 
.
2. =4 
=0 и х +2 х = 0. Полагая х = 1, получим х = 1 и вектор = с 
.
Вычисленные собственные значения обычно проверяются по их свойствам:
1. Сумма собственных значений равна сумме диагональных элементов матрицы А (следу матрицы А): 
+ +... 
= а 
+а 
+...+а 
.
2. Произведение собственных значений связано с определителем D(A) матрицы А формулой: 
... =(-1) 
D(A).
3. Если матрица А симметрична, то ее собственные значения всегда действительны, т.е. 
R.
Описанное выше, в целом, представляет собой полную проблему собственных значений - определяются все и для матрицы А. В большинстве же практических задач это не нужно - итоговое заключение делается по минимальному (или максимальному) собственному значению и соответствующему ему вектору. При этом нет необходимости решать сложное характеристическое уравнение полностью - надо найти только один нужный корень. Такая задача называется частичной проблемой собственных значений. Для ее решения имеются достаточно простые и быстрые методы.
Норма матрицы
Проблема собственных значений определена только для квадратных матриц. В экономической практике часто необходимо оценивать не только квадратные матрицы. Для такой оценки можно использовать универсальное понятие нормы, справедливое для матриц любой размерности.
Нормой произвольной матрицы А называется действительное число 
, удовлетворяющее целому ряду условий, наиболее важными из которых являются:
1. 
, причем 
только в случае полностью нулевой матрицы А.
2. 
, где 
.
В какой–то степени норму можно образно представлять как показатель “толщины” или “мощности” матрицы А.
Норма называется канонической, если 
, т.е. она не меньше, по модулю, любого элемента матрицы А. При выборе нормы возможно использовать самые разнообразные соображения, не противоречащие определению. Однако на практике обычно достаточно следующих канонических норм:
1. m–норма 
– суммируются, по модулю, все строки матрицы А и максимальная из полученных сумм объявляется нормой.
2. l–норма 
– суммируются, по модулю, все столбцы матрицы А и максимальная из полученных сумм объявляется нормой.
3. k–норма 
= 
– суммируются квадраты всех элементов матрицы А и корень из этой суммы объявляется нормой.
Векторы
