Общее понятие предела переменной величины

Рассмотрим некоторую последовательность, зависящую от натурального аргумента x_n=f(n) (n N), например: х_n=2+(-1)ⁿ , т.е.{1; 2,50; 1,67; 2,25; 1,80,...}:

Легко заметить, что при возрастании n члены последовательности все ближе подходят к значению А=2. Если вокруг этого значения выделить какую-то область радиусом e (e-окрестность), то при некотором n x_n войдет в эту окрестность и уже не выйдет из нее, какой бы малой она ни была. Это и означает, что А - предел, к которому стремится последовательность х_n.

Так что, если в некотором процессе изменение x_n таково, что в какой-то момент он попадает в e-окрестность числа А и не выходит из нее, то А - предел величины x_n:

Рассмотрим последовательность x_n = n, n N, т. е. {1; 2; 3;... }.

Здесь другой случай: если задаться любым числом М, то всегданайдется такое число n, что x_n+1 будет больше М. Эта последовательность не имеет предела. Условно записывают:

и называют x_nбесконечно большой величиной.

Для последовательности х_n= , n Î N, т.е. {1; ; ;...} при возрастании номера n пределом является А=0, т.е. . Если предел равен 0, то величина называется бесконечно малой.

Последнее, что отметим: переменная, зависящая от натурального аргумента, может иметь только один предел.

Предел функции

Пусть теперь для некоторой функции у=f(х) процесс таков, что х стремится к числу а. Выясним, к чему стремится функция у. Если двигаться от 0 к точке х=а, то в некоторый момент войдем в e-окрестность числа а. При этом функция (при движении по графику) будет ограничена по оси оY d-окрестностью, увязанной с e-окрестностью по оси оХ, и неизбежно приходит в точку х=а, принимая значение А.

Таким образом, изменение функции у=f(х), в конечном итоге, приводит к тому, что ее значения не выйдут за пределы e-d окрестности точки, которая и является ее пределом: