Основные методы численного интегрирования

Южного федерального университета 2009

Введение

Весь материал разбит на 6 лабораторных работ. На каждом занятии студент получает индивидуальное задание, которое выполняет самостоятельно под руководством преподавателя. Варианты заданий приведены в конце каждой лабораторной работы. Там же приведен порядок выполнения работ, показаны соответствующие способы решения поставленных задач с помощью пакета MathCad, даны содержание отчета. После выполнения каждой лабораторной работы студент должен сделать выводы о проделанной работе.

Для решения математических задач в инженерной практике используются графические, аналитические и численные методы.

Графические методы позволяют оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение находится путем геометрических построений.

При использовании аналитических методов решение задачи удается выразить с помощью формул. В частности, если математическая задача состоит в решении простейших алгебраических или трансцендентных уравнений, дифференциальных уравнений и т.п., то использование известных из курса математики приемов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это слишком редкие случаи.

Основным инструментом для решения сложных математических задач в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Многие численные методы разработаны давно, однако, при вычислениях вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоемких задач.

Учебно-практическое пособие по курсу «Численные методы» содержит краткое описание наиболее широко используемых на практике методов решения систем линейных алгебраических уравнений, элементы теории интерполирования, численного интегрирования.

Численное интегрирование

Основные методы численного интегрирования

В настоящем параграфе рассматриваются способы приближенного вычисления определенных интегралов

(1.1)

основанные на замене интеграла конечной суммой

(1.2)

где c_k – числовые коэффициенты и x_k – точки отрезка [a, b], k = 0, 1, …, n. Приближенное равенство

называется квадратурной формулой, а сумма вида (1.2) – квадратурной суммой. Точки x_k называются узлами квадратурной формулы, а числа c_k – коэффициентами квадратурной формулы. Разность

называется погрешностью квадратурной формулы. Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов. При оценке погрешности в приводимых ниже примерах функция f(x) предполагается достаточно гладкой.

Введем на [a,b] равномерную сетку с шагом h, т.е. множество точек

w_h = {x_i = a + ih, i = 0,1,…,N, hN = b – a},

и представим интеграл (1.1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке [a,b] достаточно построить квадратурную формулу для интеграла

(1.3)

на частичном отрезке [x_i-1,x_i] и воспользоваться свойством аддитивности определенного интеграла.