2014-02-17
4286
Положение точки в пространстве в декартовой системе координат определяется тремя координатами: x, y, z. Можно выбрать другие три параметра 
и назвать их криволинейными или обобщёнными координатами точки. Декартовы координаты будут зависеть от криволинейных:
Движение точки в криволинейных координатах задаётся уравнениями
Радиус – вектор 
движущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке выбранной системы отсчёта для рассматриваемого движения, является функцией как декартовых, так и криволинейных координат, т.е.
Выберем точку О, в которой криволинейные координаты равны нулю, и рассмотрим зависимость 
Получим уравнение в векторной форме координатной линии для 
, проходящей через точку О. Аналогично получаются уравнения координатных линий 
и 
,проходящих через точку О для координат 
и 
.
Через каждую точку пространства можно провести три координатных линии, пересекающиеся в этой точке. Вдоль каждой из координатных линий изменяется только одна криволинейная координата, а две другие сохраняют постоянные значения, соответствующие рассматриваемой точке.
Рассмотрим частные производные 
. Они как производные от вектора по скалярному аргументу направлены по касательным к координатным линиям, являющиеся годографами радиуса – вектора. Введём единичные векторы, направленные по векторам . Эти три единичных вектора 
называются базисными векторами. Базисные векторы, как , направлены в каждой точке по касательным к координатным линиям в сторону возрастания криволинейных координат. Направления возрастания и начало отсчёта криволинейных координат выбираются при задании движения.
В общем случае базисные векторы могут быть неортогональными. Используя базисные векторы, получаем
или
(i=1, 2, 3).
Скалярные величины 
=
называются коэффициентами Ламэ.
Для вычисления учтём, что радиус – вектор через декартовы координаты можно выразить в форме
где 
, 
, 
- единичные векторы, направленные по осям декартовой системы координат. Отсюда получаем
и, следовательно,
Скорость точки в криволинейных координатах. При движении точки её радиус – вектор через обобщённые координаты зависит от времени, т.е.
По определению скорости и правила дифференцирования сложных функций имеем
где 
называется обобщённой скоростью точки.
Используя ранее полученные формулы, получаем
.
Получено разложение скорости по осям, направление которых совпадает с направлением базисных векторов. Для величин составляющих скорости по базисным векторам имеем
(i=1,2,3).
В случае ортогональности базисных векторов вычисляются проекции вектора скорости на оси, направленные по базисным векторам. В этом случае для квадрата скорости получаем
.
Ускорение в ортогональных криволинейных координатах. Криволинейные координаты считаются ортогональными, если ортогональны их базисные векторы. В приложениях обычно встречается этот случай. Для ортогональных базисных векторов проекции ускорения точки на их направления вычисляем по формулам
(i=1,2,3).
Выражая базисные векторы, получим
. (1)
Для дальнейшего преобразования следует воспользоваться тождествами
(2)
или 
(3)
или 
. (4)
Тождество (2) представляют собой известное правило дифференцирования скалярного произведения двух векторов. Докажем справедливость тождеств Лагранжа (3) и (4).
Тождество (3) получим дифференцированием 
, например, по 
. Учитывая, что производные 
не могут зависеть от 
, имеем
.
Аналогично, 
т.е. 
(i=1,2,3).
Справедливость тождества (3) установлена.
Для доказательства тождества (4) продифференцируем по 
. Получим
(5)
Учитывая, что не может зависеть от обобщённых скоростей, и дифференцируя её по времени как сложную функцию времени, имеем
(6)
Правые части (5) и (6) совпадают, так как они отличаются только порядком частного дифференцирования, от которого частные производные не зависят. Следовательно, тождество (4) доказано. Используя тождества, преобразуем выражение в скобках из (1). Получим
(7)
Учитывая, что 
, и вводя функцию 
, из (1) с учётом (7) имеем
(i=1,2,3). (8)
По формулам (8) можно вычислить проекции ускорения точки на оси, направленные по базисным ортогональным векторам.
