Образцы решения некоторых заданий

Исследовать на линейную зависимость систему векторов.

Решение.

Составляем определитель из координат данных векторов.

Т.к. определитель равен нулю, то данная система векторов линейно зависима.

Найти общее решение для каждой из данных систем и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства, выделить частное решение неоднородной системы).

Решение.

Решение системы 1.

Выписываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим ее к треугольному виду.

Полагаем , , .

Базис:

, , .

Размерность линейного пространства решений равна 3.

Решение системы 2.

Выписываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводи ее к треугольному виду.

Полагаем , , тогда:

Общее решение:

Частное решение при :

3. Найти координаты вектора в базисе , если он задан в базисе .

Решение.

,

,

; ;

значит координаты относительно базиса будут .

. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

4.. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань .

Решение.

5. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки .

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение.

Т.к. вектор искомой плоскости, то его можно взять в качестве вектора нормали, следовательно