Однородное уравнение первого порядка

Однородным уравнением первого порядка называется уравнение вида:

. (6)

Для его решения введем новую переменную . Тогда и . Подставляя эти соотношения в (6), получаем: или . Это уравнение с разделяющимися переменными, и оно легко интегрируется. Найдя , получаем искомое решение .

Пример2. Решить уравнение: .

Решение. Полагая и , получим:

, или .

Интегрируя обе части последнего уравнения, получим:

.

Произвольная постоянная здесь взята в виде для удобства. Тогда и окончательно общее решение принимает вид:

.

Пример3. Решить уравнение: .

Решение. Пусть . Тогда разделим обе части уравнения на :

.

После замены переменной это уравнение приводит-ся к виду:

, или .

Вычислим интеграл в левой части последнего уравнения:

Тогда , и общее решение уравнения записывается в следующем виде:

.