Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка можно с помощью введения двух новых искомых функций и , положив , и дополнительного условия на одну из них, выбираемую произвольно. Рассмотрим применение этого метода на следующем примере.
Пример4. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Будем искать решение в виде: ;
Тогда ; Подставляя выражения для искомой функции и ее производной в рассматриваемое дифференциальное уравнение, получим:
, или
. (7)
Поскольку одну из функций и мы вправе выбрать произвольно, выберем ее так, чтобы выполнялось условие: Тогда уравнение (7) запишется в виде: . Это уравнение легко интегрируется: ; .
Произвольную постоянную здесь можно положить равной нулю, так как мы выбираем частное решение. Тогда .
После подстановки в исходное уравнение получим (при ):
; ; .
Таким образом, искомое общее решение.
Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется уравнение следующего вида:
. (8)
Здесь и , так как в этих случаях уравнение (8) превращается в линейное уравнение.
|
|
Уравнение Бернулли, как и линейное уравнение, решается с помощью представления этой функции в виде .
Пример5. Решить уравнение:
. (9)
Решение. Это уравнение Бернулли и . Положим . Тогда уравнение (9) запишется в виде:
. (10)
Будем искать функцию как решение уравнения:
.
Тогда и . Вычисляя интегралы, получим:
и
Подставляя полученное выражение в (10), получим:
.
Разделяя переменные и интегрируя, получим:
.
Выполняя интегрирование, приходим к выражению:
, или .
Окончательно получаем: .
Контрольные задания
а) Найти общее решение дифференциального уравнения.
б) Найти решение задачи Коши.
7.1. а) ;
б) ;
7.2. а) ;
б) ; ;
7.3. а) ;
б) ; ;
7.4. а) ;
б) ; ;
7.5. а) ;
б) ; ;
7.6. а) ;
б) ; ;
7.7. а) ;
б) ; ;
7.8. а) ;
б) ; ;
7.9. а) ;
б) ; ;
7.10. а) ;
б) ; ;
7.11. а) ;
б) ; ;
7.12. а) ;
б) ; ;
7.13. а) ;
б) ; ;
7.14. а) ;
б) ; ;
7.15. а) ;
б) ; ;
7.16. а) ;
б) ; ;
7.17. а) ;
б) ; ;
7.18. а) ;
б) ; ;
7.19. а) ;
б) ; ;
7.20. а) ;
б) ; ;
ТЕМА 8. РЯДЫ