Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется функция, равная отношению двух многочленов:

,

где, m, n – целые положительные числа, - действительные числа ().

Если , то называется правильной рациональной дробью, если - неправильной дробью.

Всякую неправильную дробь путем деления на можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби.

,

где , - многочлены; - правильная рациональная дробь

Интегрирование правильной рациональной дроби основано на следующей теории.

Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей следующих четырех видов:

где, A, a, M, N, p, q – действительные числа, k – натуральное число .

В алгебре устанавливается, что если знаменатель дроби представить в виде:

,

то в разложении самой дроби:

а) каждому множителю вида соответствует одна простейшая дробь вида ;

б) каждому множителю вида соответствует сумма простейших дробей вида: ;

в) каждому множителю соответствует одна простейшая дробь вида .

Пример12. Найти интеграл .

Решение. Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей:

.

Приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая числители, получим:

Так как данное тождество должно выполняться для любого , то зададим аргументу значение и получим .

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в тождестве, находим:

При :

При :

При :

При :

Подставив значение , находим: , , .

Поэтому:

Контрольные задания

Вычислить неопределенные интегралы.

5.1

5.2 .

5.
3 .

5.
4 .

5.
5 .

5.
6 .

5.
7 .

5.
8 .

5.
9 .

5.
10 .

5.
11 .

5.12 .

5.13 .

5.14 .

5.15 .

5.16 .

5.17 .

5.18 .

5.19 .

5.20 .