1.Понятие множества, подмножества. Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики.
Опр: Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство…) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так, можно говорить о множестве студентов колледжа, о множестве всех натуральных чисел и тд.
Опр: Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита, например А, В,…, Х,…, а их элементы – малыми буквами а, в, … ,х,…
Если элемент х принадлежит множеству Х, то записывают , запись или означает, что элемент х не принадлежит множеству Х.
Опр: Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом .
Опр: Множество называют конечным, если число его элементов конечно.
Опр: Множество, отличное от пустого и конечного называют бесконечным.
Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указывается общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.
|
|
Например, запись означает, что множество состоит из четырех чисел 1,5,17,21; запись означает, что множество состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству .
Опр: Множество называют подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . Символически это обозначают так (« включено в ») или («множество включает в себя множество »).
Опр: Говорят, что множества и равны или совпадают, и пишут , если и . Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.
2. Операции над множествами
1. Объединением (суммой) множеств и называется множество , состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают (или ). Кратко можно записать . Например: даны множества , , тогда .
2. Пересечением (произведением) множеств и называется множество , состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству и множеству . Пересечение множеств обозначают (или ). Кратко можно записать . Например: даны множества , , тогда .
3. Разностью множеств и называется множество , состоящее из элементов множества , не принадлежащих множеству . Разность множеств обозначают . Например: даны множества , , тогда .
4.Дополнением множества относительно множества , называется множество , если или и СВ =В \ А. Например: даны множества , , тогда .
3. Пересечение и объединение. Для множеств , и справедливы следующие соотношения1.
2. – коммутативность объединения
|
|
3. – ассоциативность объединения
4.
5.
6. – коммутативность пересечения
7. – ассоциативность объединения
8.
9.
10.
4. Некоторые логические символы. В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые логические символы:
- символы включения. − «множество включено во множество » или «множество включает ».
− «принадлежит», − «не принадлежит».
− символ (квантор) общности, означает «для любого», «для всякого».
− символ (квантор) существования, означает «существует», «найдётся».
− символ следствия. Запись означает «из предложения следует предложение ».
− символ равносильности (эквивалентности). Запись означает из следует и из следует ».
− союз «и»
− союз «или»
: − «имеет место», «такое что».
– означает отрицание предложения или «не », черта над − символ отрицания.
def − означает утверждение справедливо по определению.
Если несколько условий выполняется одновременно, то их объединяют знаком системы , что соответствует союзу «и». Если же выполняется хотя бы одно из условий, то их объединяют знаком совокупности , что соответствует союзу «или».
Например: 1) − для всякого элемента имеет место предложение .
2) − определение объединения множеств и .
3.1 Приведите примеры конечного и бесконечного множеств.
3.2 Даны множества и . Найти объединение, пересечение и разность множеств. Ответ: , , ,
3.3 Даны множества и . Найти дополнение относительно . Ответ: .
4. Обобщение урока (итоги, результаты).
5. Задание на дом. Разбор теоретического материала по конспектам лекций. Пример: Даны множества и . Найти объединение, пересечение и разность множеств, дополнение относительно . Ответ: , , .