Лекция 1. Множество. Основные понятия

1.Понятие множества, подмножества. Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики.

Опр: Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство…) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так, можно говорить о множестве студентов колледжа, о множестве всех натуральных чисел и тд.

Опр: Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита, например А, В,…, Х,…, а их элементы – малыми буквами а, в, … ,х,…

Если элемент х принадлежит множеству Х, то записывают , запись или означает, что элемент х не принадлежит множеству Х.

Опр: Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом .

Опр: Множество называют конечным, если число его элементов конечно.

Опр: Множество, отличное от пустого и конечного называют бесконечным.

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указывается общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, запись означает, что множество состоит из четырех чисел 1,5,17,21; запись означает, что множество состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству .

Опр: Множество называют подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . Символически это обозначают так (« включено в ») или («множество включает в себя множество »).

Опр: Говорят, что множества и равны или совпадают, и пишут , если и . Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

2. Операции над множествами

1. Объединением (суммой) множеств и называется множество , состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают (или ). Кратко можно записать . Например: даны множества , , тогда .

2. Пересечением (произведением) множеств и называется множество , состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству и множеству . Пересечение множеств обозначают (или ). Кратко можно записать . Например: даны множества , , тогда .

3. Разностью множеств и называется множество , состоящее из элементов множества , не принадлежащих множеству . Разность множеств обозначают . Например: даны множества , , тогда .

4.Дополнением множества относительно множества , называется множество , если или и С_В =В \ А. Например: даны множества , , тогда .

3. Пересечение и объединение. Для множеств , и справедливы следующие соотношения1.

2. – коммутативность объединения

3. – ассоциативность объединения

4.

5.

6. – коммутативность пересечения

7. – ассоциативность объединения

8.

9.

10.

4. Некоторые логические символы. В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые логические символы:

- символы включения. − «множество включено во множество » или «множество включает ».

− «принадлежит», − «не принадлежит».

− символ (квантор) общности, означает «для любого», «для всякого».

− символ (квантор) существования, означает «существует», «найдётся».

− символ следствия. Запись означает «из предложения следует предложение ».

− символ равносильности (эквивалентности). Запись означает из следует и из следует ».

− союз «и»

− союз «или»

: − «имеет место», «такое что».

– означает отрицание предложения или «не », черта над − символ отрицания.

def − означает утверждение справедливо по определению.

Если несколько условий выполняется одновременно, то их объединяют знаком системы , что соответствует союзу «и». Если же выполняется хотя бы одно из условий, то их объединяют знаком совокупности , что соответствует союзу «или».

Например: 1) − для всякого элемента имеет место предложение .

2) − определение объединения множеств и .

3.1 Приведите примеры конечного и бесконечного множеств.

3.2 Даны множества и . Найти объединение, пересечение и разность множеств. Ответ: , , ,

3.3 Даны множества и . Найти дополнение относительно . Ответ: .

4. Обобщение урока (итоги, результаты).

5. Задание на дом. Разбор теоретического материала по конспектам лекций. Пример: Даны множества и . Найти объединение, пересечение и разность множеств, дополнение относительно . Ответ: , , .