2015-10-22
2081
1.Понятие множества, подмножества. Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики.
Опр: Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство…) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так, можно говорить о множестве студентов колледжа, о множестве всех натуральных чисел и тд.
Опр: Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита, например А, В,…, Х,…, а их элементы – малыми буквами а, в, … ,х,…
Если элемент х принадлежит множеству Х, то записывают 
, запись 
или 
означает, что элемент х не принадлежит множеству Х.
Опр: Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом 
.
Опр: Множество называют конечным, если число его элементов конечно.
Опр: Множество, отличное от пустого и конечного называют бесконечным.
Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указывается общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.
|
|
|
Например, запись 
означает, что множество 
состоит из четырех чисел 1,5,17,21; запись 
означает, что множество состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству 
.
Опр: Множество называют подмножеством множества 
, если каждый элемент множества является элементом множества . Символически это обозначают так 
(« включено в ») или 
(«множество включает в себя множество »).
Опр: Говорят, что множества и равны или совпадают, и пишут 
, если и 
. Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.
2. Операции над множествами
1. Объединением (суммой) множеств и называется множество 
, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают 
(или 
). Кратко можно записать 
. Например: даны множества 
, 
, тогда 
.
2. Пересечением (произведением) множеств и называется множество , состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству и множеству . Пересечение множеств обозначают 
(или 
). Кратко можно записать 
. Например: даны множества , , тогда 
.
3. Разностью множеств и называется множество , состоящее из элементов множества , не принадлежащих множеству . Разность множеств обозначают 
. Например: даны множества , , тогда 
.
4.Дополнением множества относительно множества , называется множество 
, если или и СВ =В \ А. Например: даны множества 
, 
, тогда 
.
3. Пересечение и объединение. Для множеств , и справедливы следующие соотношения1. 
2. 
– коммутативность объединения
|
|
|
3. 
– ассоциативность объединения
4. 
5. 
6. 
– коммутативность пересечения
7. 
– ассоциативность объединения
8. 
9. 
10. 
4. Некоторые логические символы. В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые логические символы:
- символы включения. − «множество включено во множество » или «множество включает ».
− «принадлежит», 
− «не принадлежит».
− символ (квантор) общности, означает «для любого», «для всякого».
− символ (квантор) существования, означает «существует», «найдётся».
− символ следствия. Запись 
означает «из предложения 
следует предложение 
».
− символ равносильности (эквивалентности). Запись 
означает из следует и из следует ».
− союз «и»
− союз «или»
: − «имеет место», «такое что».
– означает отрицание предложения или «не », черта над − символ отрицания.
def − означает утверждение справедливо по определению.
Если несколько условий выполняется одновременно, то их объединяют знаком системы 
, что соответствует союзу «и». Если же выполняется хотя бы одно из условий, то их объединяют знаком совокупности 
, что соответствует союзу «или».
Например: 1) 
− для всякого элемента 
имеет место предложение 
.
2) 
− определение объединения множеств и .
3.1 Приведите примеры конечного и бесконечного множеств.
3.2 Даны множества 
и 
. Найти объединение, пересечение и разность множеств. Ответ: 
, 
, 
, 
3.3 Даны множества 
и 
. Найти дополнение 
относительно 
. Ответ: 
.
4. Обобщение урока (итоги, результаты).
5. Задание на дом. Разбор теоретического материала по конспектам лекций. Пример: Даны множества 
и 
. Найти объединение, пересечение и разность множеств, дополнение 
относительно 
. Ответ: 
, 
, 
.
